- •I Понятие функции двух и более переменных, область определения функции
- •Примеры для самостоятельного решения
- •II Частные производные функции нескольких переменных
- •Примеры для самостоятельного решения
- •III Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференциалы высших порядков
- •Примеры для самостоятельного решения
- •IV Производная по направлению и градиент
- •Примеры для самостоятельного решения
- •V Экстремум функций нескольких переменных
- •Примеры для самостоятельного решения
- •VI Условный экстремум
- •Задачи для самостоятельного решения
- •VII Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Примеры для самостоятельного решения
- •Литература
Примеры для самостоятельного решения
1. ; 17. ;
2. ; 18. ;
3. ; 19. ;
4. ; 20. ;
5. ; 21. ;
6. ; 22. ;
7. ; 23. ;
8. ; 24. ;
9. ; 25. ;
10. ; 26. ;
11. ; 27. ;
12. ; 28. ;
13. ; 29.
(функция задана неявно);
14. ;
15. ;
16. ;
30. ;
31. .
VI Условный экстремум
Если точки экстремума функции ищутся только среди точек таких, что для них выполнены условия , то говорят, что решается задача на условный экстремум, при этом равенства и называют уравнениями связи. Заметим, что уравнений связи может быть одно или два, но не больше числа независимых переменных.
В зависимости от того, каковы уравнения связи, используются следующие способы решения задачи условного экстремума:
а) Прямой метод нахождения точек условного экстремума:
если дано одно уравнение связи , и его можно разрешить относительно одной из переменных, например , то задача условного экстремума сводится к нахождению обычного локального экстремума функции .
Пример 4. Найти условные экстремумы функции , если .
Разрешим условие связи относительно переменной : .
Подставив полученное значение в выражение для , сведем задачу к нахождению
обычного локального экстремума функции двух переменных
.
Решим ее: .
Для нахождения стационарных точек получим систему:
.
Последняя система распадается на следующие системы:
1) 2) 3) 4) .
Найдем производные второго порядка:
.
В точке имеем: .
и, следовательно, в точке (0;0) функция не имеет экстремума.
В точке (3;0): -- нет экстремума.
В точке (0;2):
-- нет экстремума.
В точке : . Так как , то в точке функция имеет локальный максимум. Тогда функция имеет в точке условный максимум и .
Пусть требуется найти экстремум функции при условии, что переменные связаны уравнениями связи . Предполагается, что функции дважды непрерывно дифференцируемы.
Задача определения условного экстремума сводится к нахождению обычного локального экстремума функции Лагранжа:
,
где -- постоянные множители.
Приведем схему исследования функций на условный по методу, предложенному Лагранжем.
а) Находим критические (подозрительные) точки на экстремум функции из системы уравнений: .
б) Вопрос о существовании и характере условного экстремума, как и в случае локального экстремума, решается на основании исследования знака второго дифференциала функции Лагранжа в критических точках, при условии, что связаны соотношениями, которые получаются при дифференцировании уравнений связи:
Пример 5. Исследовать на условный экстремум функцию
, если .
Составим функцию Лагранжа:
и записанную выше систему уравнений:
Из системы следует, что точки (5;-4) и (-5;4) – условно-стационарные точки. Проверим, будут ли они точками условного экстремума данной функции. Для этого вычислим второй дифференциал функции Лагранжа:
.
Дифференцируя уравнение связи, получим:
.
Тогда в точке (5;-4) имеем: . И, учитывая, что для этой точки , получим . Следовательно, в точке (5;-4) функция имеет условный максимум, .
Аналогично, в точке (-5;4) имеем: и при этом
. Поэтому в точке (-5;4) функция имеет
условный минимум, .