- •9. Дифференциальные уравнения
- •9.1. Дифференциальные уравнения первого порядка Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.2. Уравнения с разделяющимися переменными Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.3. Однородные дифференциальные уравнения Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение я. Бернулли Краткие теоретические сведения
- •Метод и. Бернулли
- •Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)
- •Уравнение я. Бернулли
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •Интегрирующий множитель
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.6. Дифференциальные уравнения второго и более высоких порядков, допускающие понижение порядка Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.7. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (лоду) Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.8. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами второго и более высоких порядков (лнду) Краткие теоретические сведения
- •Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.9. Приложение дифференциальных уравнений в экономике Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задачи для самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
n9.5. Решить ДУ с разделяющимися переменными:
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) ; |
д) ; |
е) ; |
ж) ; |
з) . |
n9.6. Найти решение задачи Коши для указанных ДУ:
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) ; |
д) ; |
е) ; |
ж) ; |
з) . |
Ответы
9.3. Однородные дифференциальные уравнения Краткие теоретические сведения
К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.
Определение. Функция называется однородной функцией n-го порядка (измерения) относительно аргументов и , если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножается на , т.е. равенство
справедливо для любого , при котором функция определена, .
Например, функция есть однородная функция третьего порядка, так как
.
Функция будет однородной нулевого порядка, если , т.е. выполняется равенство
. (3.1)
Определение. Дифференциальное уравнение
(3.2)
называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка.
Однородное ДУ (3.2) можно переписать в виде:
.
Действительно, так как функция – однородная функция нулевого порядка, то уравнение (3.2) можно записать в виде .
Положив , получаем:
.
Следовательно, уравнение (3.2) сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены переменной (подстановкой)
или , тогда ,
где – есть функция переменной , т.е. :
.
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
. (3.3)
Оно будет однородным в том и только том случае, если и – однородные функции одного и того же порядка, т.е.
и .
Действительно, переписав его в нормальной форме:
,
легко видеть, что – однородная функция нулевого порядка, так как
.
Замечание. Уравнение вида , где – числа, приводится к однородному или с разделяющимися переменными. Для этого вводятся новые переменные и , положив , где и – числа, которые подбирают так, чтобы уравнение стало однородным.
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Найти все решения ДУ
.
Решение. Запишем данное ДУ в форме (3.2)
.
Проверим функцию на однородность нулевого порядка:
.
Из проверки видно, что данное уравнение действительно является однородным. Сделаем замену , . Тогда:
.
Получившееся после преобразований ДУ – есть ДУ с разделяющимися переменными.
Разделяя переменные, последовательно находим:
,
.
Сделаем обратную замену, т.е. в последнее выражение вместо подставим значение . Получим общий интеграл:
При разделении переменных могли потерять особые решения. Найдем их, если они имеются. Для этого решим уравнение . Непосредственно видно, что не является решением Если , то . С помощью подстановки можно убедиться, что – является решением данного ДУ.
Следовательно, к общему интегралу необходимо добавить решение .
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Приведем данное уравнение к виду (3.3)
.
Так как функции и – однородные первого порядка, то данное уравнение – однородное. Сделаем замену , . Тогда
,
предполагая, что , сокращаем обе части равенства на . Далее имеем:
.
Разделяем переменные, интегрируем и находим общий интеграл ДУ:
.
После обратной замены получаем:
.
Особое решение только одно , так как .
Пример 3. Найти частное решение ДУ
,
удовлетворяющее начальному условию .
Решение. Легко видеть, что функция – однородная нулевого порядка. Сделаем замену , . Тогда
.
Разделяем переменные
.
Интегрируем последнее равенство, получаем:
.
Подставляя вместо его значение, получим общее решение:
.
Использовав начальное условие , определим значение С:
.
Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид:
.
Пример 4. Найти общий интеграл ДУ
.
Решение. Положив , получаем:
.
Подберем и так, чтобы уравнение стало однородным, т.е.
Находим, что . Заданное уравнение принимает вид:
и будет являться однородным.
Решая это однородное уравнение подстановкой , получаем уравнение:
решением которого является:
.
Подставляя значение , получаем: .
Так как , т.е. , имеем:
.