- •9. Дифференциальные уравнения
- •9.1. Дифференциальные уравнения первого порядка Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.2. Уравнения с разделяющимися переменными Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.3. Однородные дифференциальные уравнения Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение я. Бернулли Краткие теоретические сведения
- •Метод и. Бернулли
- •Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)
- •Уравнение я. Бернулли
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •Интегрирующий множитель
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.6. Дифференциальные уравнения второго и более высоких порядков, допускающие понижение порядка Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.7. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (лоду) Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.8. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами второго и более высоких порядков (лнду) Краткие теоретические сведения
- •Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.9. Приложение дифференциальных уравнений в экономике Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задачи для самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
n9.18. Найти общее решение ДУ:
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) ; |
д) ; |
е) ; |
ж) ; |
з) . |
n9.19. Найти общее решение ДУ:
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) ; |
д) ; |
е) ; |
ж) ; |
з) . |
n9.20. Найти общее решение ДУ:
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) ; |
д) ; |
е) ; |
ж) ; |
з) . |
n9.21. Решить задачу Коши:
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) ; |
д) ; |
е) ; |
ж) ; |
з) . |
Ответы
9.7. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (лоду) Краткие теоретические сведения
Линейным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:
, (7.1)
где коэффициенты – некоторые действительные числа.
Дифференциальному уравнению (7.1) ставится в соответствие характеристическое уравнение, т.е. алгебраическое уравнение n-го порядка вида:
. (7.2)
Для его составления достаточно в уравнении (7.1) заменить .
Как известно, уравнение (7.2) имеет n корней. Обозначим их через .
Корни уравнения (7.2) могут быть действительные или комплексные, среди которых могут быть и равные. Если уравнение имеет равные корни, то в этом случае говорят, что корень один и имеет кратность . Так, например, уравнение имеет три равных корня: . В этом случае корень имеет кратность . Если кратность корня равна единице, его называют простым.
Общее решение дифференциального уравнения (7.1) строится в зависимости от характера корней уравнения (7.2):
1) каждому действительному простому корню в общем решении соответствует слагаемое вида , т.е. если все корни уравнения действительны и различны , то общее решение уравнения (7.1) записывается в виде:
; (7.3)
2) каждому действительному корню кратности в общем решении соответствует слагаемое вида:
; (7.4)
3) каждой паре комплексных сопряженных простых корней в общем решении соответствует слагаемое вида:
; (7.5)
4) каждой паре комплексных сопряженных корней кратности в общем решении соответствует слагаемое вида:
.
Если в уравнении (7.1) , то получаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
. (7.6)
Характеристическое уравнение имеет вид:
. (7.7)
При его решении возможны три случая:
1*) если , то , и общее решение уравнения (7.6) имеет вид:
;
2*) если , то , т.е. уравнение (7.7) имеет один корень кратности . Тогда общее решение уравнения (7.6) имеет вид:
;
3*) если , то характеристическое уравнение имеет комплексные корни , где , и общее решение уравнения (7.6) имеет вид:
.
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Найти общее решение для следующих однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка:
а) ; б) ; в) .
Решение.
а) Характеристическое уравнение имеет различные корни: , поэтому общее решение ДУ имеет вид:
.
б) В данном случае характеристическое уравнение имеет один корень кратности 2 , следовательно, искомое общее решение есть
.
в) Характеристическое уравнение имеет комплексные корни , следовательно, . Поэтому общее решение имеет вид:
.
Пример 2. Найти общее решение для следующих однородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков:
а) ; б) .
Решение.
а) Составляем характеристическое уравнение для данного ДУ и находим его корни: . Получаем два корня кратности 2: .
На основании формулы (7.4) общее решение исходного уравнения имеет вид: .
б) Характеристическое уравнение для данного ДУ имеет вид:
.
Находим его корни:
.
Получили пять простых корней: три действительных и два комплексно-сопряженных . С учетом формул (7.3.) и (7.5.) общее решение исходного ДУ имеет вид:
.