Лекція 16: економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння

13.1. Звичайні диференціальні рівняння. Загальні поняття та означення теорії диференціальних рівнянь першого порядку

Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке пов’язує незалежні змінні, їх функцію та похідні (диференціали) цієї функції. Якщо незалежна змінна одна, то рівняння називається звичайним, якщо незалежних змінних декілька, то рівняння називається диференціальним рівнянням у частинних похідних. Найвищий порядок похідної (диференціала), що входить у рівняння, називається порядком диференціального рівняння.

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння вигляду , яке пов’язує незалежну змінну , невідому функцію та її похідну . Якщо це рівняння можна розв’язати відносно похідної , то маємо диференціальне рівняння першого порядку у вигляді: .

Розв’язком диференціального рівняння першого порядку на інтервалі називається диференційовна на цьому інтервалі функція , яка перетворює це рівняння у тотожність по на .

Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння називається інтегруванням диференціального рівняння.

Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку в деякій області на площині називається функція , яка задовольняє такі умови:

1) функція є розв’язком диференціального рівняння при будь-якому значенні сталої з деякої множини;

2) для довільної початкової умови такої, що , існує єдине значення сталої , при якому розв’язок задовольняє початкову умову.

Частинним розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається функція , яка одержується із загального розв’язку фіксуванням деякого значення сталої.

Якщо загальний розв’язок диференціального рівняння знайдено у неявному вигляді, тобто у вигляді рівняння , то такий розв’язок називається загальним інтегралом диференціального рівняння. Рівність називають частинним інтегралом диференціального рівняння.

Задача Коші для диференціального рівняння першого порядку – це задача відшукання розв’язку цього рівняння, що задовольняє початкову умову .

Теорема Коші – Пікара (достатні умови існування та єдиності розв’язку задачі Коші). Якщо у диференціальному рівнянні першого порядку функція та її частинна похідна неперервні в області на площині , що містить деяку точку , то існує єдиний розв’язок цього рівняння , який задовольняє початкову умову .

Побудований на площині графік деякого розв’язку диференціального рівняння першого порядку називається інтегральною кривою цього рівняння. Загальному розв’язку на площині відповідає сім’я (сукупність) інтегральних кривих, що залежать від одного параметра – довільної сталої , а частинному розв’язку, який задовольняє початкову умову - крива цієї сім’ї, що проходить через точку . Теорема Коші – Пікара формулює достатні умови того, що через кожну точку проходить єдина інтегральна крива даного рівняння.

Особливим розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається такий розв’язок, у всіх точках якого умова єдиності не виконується, тобто в будь-якому околі кожної точки особливого розв’язку існують принаймні дві інтегральні криві, що проходять через цю точку.

Особливі розв’язки не одержуються із загального розв’язка диференціального рівняння при жодному значенні довільної сталої (в тому числі і при ). Особливим розв’язком є обвідна сім’ї інтегральних кривих (якщо вона існує), тобто лінія, яка в кожній своїй точці дотикається принаймні до однієї інтегральної кривої.

Нехай задано сім’ю функцій, які залежать від параметра : , причому через кожну точку деякої області площини проходить лише одна крива цієї сім’ї. Це означає, що для кожної пари визначається єдине значення з рівняння сім’ї функцій. Диференціюючи це рівняння по та підставляючи знайдене значення , маємо диференціальне рівняння першого порядку, для якого задана сім’я функцій є загальним розв’язком.

Зазначимо, що інтегральна крива рівняння в кожній точці матиме дотичну, кутовий коефіцієнт якої визначається значенням . Сукупність трійок утворює так зване поле напрямів. Графічно його можна зобразити, накресливши у відповідних точках області визначення стрілки, що утворюють з віссю кути, тангенси яких збігаються зі значеннями у цих точках. Геометричне місце точок з однаковим напрямом поля називають ізоклінами.

Приклад 1. Знайти особливі розв’язки диференціального рівняння .

Легко безпосередньо перевірити, що загальним розв’язком рівняння є . Ця сім’я інтегральних кривих має дві обвідні , які є особливими розв’язками диференціального рівняння.

Приклад 2. Знайти диференціальне рівняння сім’ї парабол, що проходять через точку і дотикаються до осі .

Рівняння параболи, що дотикається до осі , має вигляд . Враховуючи умову , дістаємо . Отже, рівняння сім’ї парабол, що задовольняють умову приклада, є , де - довільна стала. Диференціюючи це рівняння, маємо . Виключаючи параметр з одержаних рівнянь, дістаємо диференціальне рівняння даної сім’ї парабол: .