13.2.Рівняння з відокремлюваними змінними

Диференціальне рівняння вигляду

, (13.1)

де - відомі неперервні функції, називається рівнянням з відокремленими змінними.

З (1) маємо рівність двох диференціалів , невизначені інтеграли від яких відрізняються на постійний доданок, тому

. (13.2)

Рівняння (2) є загальним інтегралом диференціального рівняння (1).

Диференціальне рівняння вигляду

, (13.3)

де - відомі неперервні функції, називається рівнянням з відокремлюваними змінними.

За умови це рівняння зводиться до (13.1) шляхом ділення його на добуток :

,

звідки дістають загальний інтеграл рівняння (13.3)

.

Рівняння доцільно дослідити окремо (ці рівняння можуть визначати особливі розв’язки рівняння (13.3).

Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними, що розв’язане відносно похідної, має вигляд:

, (13.4)

де - відомі неперервні функції. Якщо , то загальним інтегралом рівняння (13.4) буде

.

Рівняння досліджується окремо.

Приклад 3. Розв’язати диференціальне рівняння .

Задане рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними, тому поділимо його на , вважаючи, що : .

Інтегруємо одержане рівняння:

, , ,

.

Останнє співвідношення є загальним інтегралом диференціального рівняння. В ньому містяться частинні розв’язки (при ), втрачені внаслідок відокремлення змінних.

Приклад 4. Розв’язати диференціальне рівняння .

Зведемо рівняння до вигляду (13.3)

; .

Останнє рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними, ділимо його на , вважаючи :

.

Інтегруємо одержане рівняння з відокремленими змінними

; .

Загальний інтеграл одержано за умови . Легко перевірити, що є особливим розв’язком рівняння (перетворює рівняння у тотожність, але не міститься у загальному інтегралі), а - не є розв’язком рівняння.

13.3.Однорідні диференціальні рівняння

Функція називається однорідною виміру , якщо для будь-якого справджується тотожність .

Диференціальні рівняння вигляду

, (13.5)

, (13.6)

де - неперервна однорідна функція нульового виміру, - неперервні однорідні функції одного й того самого виміру, називаються однорідними.

Рівняння (5), (6) зводяться до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки або , де - нова невідома функція. Дійсно, або та, враховуючи однорідність заданих функцій, тобто , одержують рівняння (5), (6) відповідно у вигляді

,

,

де змінні легко відокремлюються.

До однорідних рівнянь зводяться рівняння вигляду

. (13.7)

Якщо , то (13.7) є однорідним, якщо або , то роблять заміну , де - деякі сталі. Враховуючи співвідношення одержують (13.7) у вигляді

. (13.8)

Сталі підбирають так, щоб пара була розв’язком системи

(13.9)

або точка була точкою перетину відповідних прямих. Тоді рівняння (13.8) стає однорідним:

. (13.10)

Розв’язавши рівняння (13.10), повертаються до змінних .

Якщо система (13.9) несумісна, тобто , то та

. (13.11)

Тоді за допомогою підстановки рівняння (13.11) зводять до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно, враховуючи рівність , одержують рівняння (13.11) у вигляді

.

Той самий підхід можна застосовувати до інтегрування рівняння вигляду

,

де - деяка неперервна функція.

Приклад 5. Розв’язати задачу Коші .

Маємо однорідне рівняння типу (5), де є однорідною функцією нульового виміру, бо , тому застосовуємо заміну :

; .

Відокремлюємо змінні та інтегруємо рівняння:

; ; ;

.

Повертаючись до змінних , одержимо загальний інтеграл у вигляді . У ньому не міститься розв’язок . Зауважимо, що не можна виразити явно із загального інтеграла, але можна виразити як функцію від : .

Для знаходження розв’язку задачі Коші покладемо у загальному інтегралі , одержимо , звідки . Отже, є частинним інтегралом рівняння, що задовольняє задану початкову умову.

Приклад 6. Розв’язати диференціальне рівняння .

Запропоноване рівняння є таким, що зводиться до однорідного, тому робимо заміну . Сталі визначаємо як розв’язок системи

звідки та .

У нових змінних рівняння стає однорідним вигляду . Робимо заміну , яка приводить до

або .

Відокремлюємо змінні та інтегруємо рівняння:

; ; .

Повертаємось до змінних , а потім до :

; .

Останнє рівняння є загальним інтегралом заданого диференціального рівняння. Зауважимо, що не є розв’язком цього рівняння (перевіряється безпосередньо).

Приклад 7. Розв’язати диференціальне рівняння .

Рівняння можна звести до однорідного, якщо зробити заміну , тоді матимемо

або .

Відокремлюємо змінні та інтегруємо одержане рівняння

; .

Загальний інтеграл рівняння в змінних матиме вигляд

.

Крім того дане рівняння має особливий розв’язок, а саме, інтегральну криву , яка в загальному інтегралі не міститься.