Перша інтерполяційна формула Ньютона має вигляд

(1)

Формула (1) використовується для інтерполяції і екстраполяції в точках х, близьких до початку таблиці.

В формулі (1) використовується верхній горизонтальний рядок таблиці різниць (табл. 1.).

Табл.1 Горизонтальна таблиця кінцевих різниць при i = 5

X	Y	Y	^2Y	^3Y	^4Y
X0	Y0	Y0	^2Y0	^3Y0	^4Y0
X1	Y1	Y1	^2Y1	^3Y1	^4Y1
X2	Y2	Y2	^2Y2	^3Y2
X3	Y3	Y3	^2Y3
X4	Y4	Y4
X5	Y5

При n = 1 і n = 2 із формули (1) одержуємо часткові випадки:

n = 1 лінійна інтерполяція
y(x) = y0 + y0(x - х0)/h	(2)
n = 2 квадратична інтерполяція
y(x) = y0 + y0(x - х0)/h + ^2y0(x - х0)( x – х1)/(2!h^2)	(3)

Д руга інтерполяційна формула Ньютона має вигляд:

(4)

У формулі (4) використовується нижній похилий рядок різниці (табл.2).

Формула (4) застосовується для інтерполяції в точках, близьких до кінця таблиці, тобто до x_n.

Інтерполяційна формула Гауса.

Пронумеруємо задані вузли наступним чином:

x_-4, x_-3, x_-2, x_-1, x₀, x₁, x₂, x₃, x₄,

тоді таблиця різниць матиме вигляд Табл.2.

Табл.2 Діагональна таблиця різниць.

X	Y	^1Y	^2Y	^3Y	^4Y	^5Y	^6Y
X-4	Y-4
X-3	Y-3	Y-4	^2Y-4
X-2	Y-2	Y-3	^2Y-3	^3Y-4	^4Y-4
X-1	Y-1	Y-2	^2Y-2	^3Y-3	^4Y-3	^5Y-4	^6Y-4
X0	Y0	Y-1	^2Y-1	^3Y-2	^4Y-2	^5Y-3	^6Y-3
X1	Y1	Y0	^2Y0	^3Y-1	^4Y-1	^5Y-2	^6Y-2
X2	Y2	Y1	^2Y1	^3Y0	^4Y0	^5Y-1
X3	Y3	Y2	^2Y2	^3Y1
X4	Y4	Y3

Перша інтерполяційна формула Гауса:

Д руга інтерполяційна формула Гаусса:

Ф ормули Гауса застосовуються для інтерполяції в середині таблиці поблизу х₀. При цьому перша формула Гауса застосовується при х>x₀, а друга – при х<x₀

Інтерполяційна формула Стірлінга.

Це формула являє собою середнє арифметичне першої і другої формул Гауса:

де m = 2i-1, q = (x-x₀)/h.

Формула застосовується для інтерполяції всередині таблиці при значеннях q, близьких до 0.Практично її застосовують при

|q| <=0.25

Інтерполяційна формула Бесселя має вигляд.

Де m = 2i-1, q = (x-x₀)/h.

Формула Бесселя використовується для інтерполяції в центрі таблиці при значеннях q , близьких до 0.5. На практиці вона використовується при 0.25 <q<0.75. Найбільш простий вигляд має формула при q=0.25, так як всі члени , які включають в себе різниці непарного порядку , зникають .Формулу використовують для ущільнення таблиці, тобто для створення таблиць з малим шагом

Інтерполяція для довільно вибраних вузлів.

Інтерполяційна формула Лагранжа.

Нехай х_i- довільно вибраний вузол ,y_i=f(x_i) –значення функції f(x).

Поліном степені n , який набуває в точці x_i значення y_i ,є інтерполяційним поліномом Лагранжа:

n n

L =  y_i*  (x – x_k)/ (x_i – x_k)

i =1 k=1, ki