Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжская государственная социально-гуманитарная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ДМ_Множества.doc

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2019

Размер:

6.15 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Часть I. Множества, соотвествия, отношения

1. Операции над множествами

Запись означает, что элемент принадлежит множеству . Если не является элементом множества , то пишут . Два множества и считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Будем писать , если и равны и в противном случае. Множество называется пустым и обозначается , если оно не содержит элементов.

Будем говорить, множество включено во множество , и писать , если каждый элемент множества является элементом множества . В этом случае называется подмножеством множества . Считается, что для любого справедливо включение .

Если и , то будем писать и говорить, что множество строго включено во множество или множество является собственным подмножеством множества .

Семейство всех подмножеств данного множества обозначается .

Мощностью конечного множества будем называть число его элементов. Мощность множества (не обязательно конечного) обозначается .

Объединением множеств и называется множество

Пересечением множеств и называетсямножество

Разностью множеств и называется множество

Если все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множества , то разность называется дополнением и обозначается .

Симметрической разностью множества и называется множество .

Будем говорить, что множества и находятся в общем положении, если существуют такие элементы , что и , и , и , иначе говоря, эти множества не являются подмножествами друг друга и пересекаются.

Задание 1.1.

1. Справедливо ли в общем случае утверждение: если и и , то

2. Может ли при некоторых и выполниться набор условий: и и и

Примеры решения задания 1.1.

Пример 1.

а) Справедливо ли в общем случае утверждение: если , и , то

Решение. Пусть . Так как , из определения включения следует, что . Так как и , то . Так как и , то . Итак, из того, что произвольный элемент следует, что . На основании определения заключаем, что , то есть данное утверждение верно.

б) Может ли при некоторых и выполняться набор условий: , и , и ?

Решение. Да, может. Это следует из справедливости утверждения в пункте а). Примером могут служить множества , , . Тогда , , и .

Пример 2.

а) Справедливо ли в общем случае утверждение: если , и , то ?

Решение. Пусть , , , . Тогда и .

Но в то же время неверно, что , так как единственный элемент множества не является элементом множества , состоящего из элементов и . Итак, утверждение из нашего примера 2а) в общем случае неверно.

б) Может ли при некоторых и выполняться набор условий: , , и ?

Решение. Да, может. Например, , , , .

Тогда , , и в то же время .

Задание 1.2. Для универсального множества , множества , заданного списком, и для , являющегося множеством корней уравнения

1. Найти множества: , , , , , , .

2. Выяснить, какая из пяти возможностей выполнена для множества и : , или , или , или , или и находятся в общем положении.

3. Найти и .

Пример решения задания 1.2.

Решим задание 1.2 для и уравнения .

Решение. Сначала найдём множество корней данного уравнения. Подбором устанавливаем, что корнем исходного многочлена является 1; поделив этот многочлен на , получим многочлен . Также подбором устанавливаем, что является корнем многочлена и делим этот многочлен на . Получим многочлен . Его корни совпадают и равны 4.

Итак, множество найдено, . Теперь решаем пункты 1-3 данного задания.

1. , , , , ,

, .

2. Так как и , и , , то множества и находятся в общем положении.

3. . Видим, что содержит 8 элементов, т.е. .

Задание 1.3. Пусть и – множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условиям и соответственно. Изобразите в системе координат множество , полученное из множества и по формуле .

Пример решения задания 1.3.

Пусть и множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условиям , и соответственно. Изобразите в системе координат множество , полученное из множеств и по формуле .

Решение. Множество представляет из себя множество точек круга радиуса 2 с центом в начале координат, включающего границу, множество точек плоскости, расположенных выше и на прямой , и множество точек, лежащих внутри и на границе квадрата ; .

Отметим горизонтальной штриховкой множество , а вертикальной – множество (рис.1, а)

Удалив из области, помеченной вертикальной штриховкой, точки области, помеченной горизонтальной штриховкой, мы получим множество точек, образующих . Изобразим результат, отметив точки множества вертикальной штриховкой (рис. 1, б).

Рис. 1

Задание 1.4.

1. Существуют ли множества такие, что выполняется набор условий ?

2. Существуют ли множества такие, что выполняется набор условий ?

Пример решения задания 1.4.

1. Существуют ли множества такие, что выполняется набор условий: , , ?

Решение. Изобразим множества в виде прямоугольников, расположенных на плоскости в общем положении, и поставим в каждой области, на которые плоскость разбита прямоугольниками, по одному символу: символ 4, например, обозначает список всех элементов, попавших во множества и , но не попавших в и т.д. Теперь составим множества и универсальное множество (рис.2):

, ,

, .

Рис. 2

Изменим множества так, чтобы выполнились условия нашего задания.

Из того, что , следует, что множество не должно содержать элементов, т.е. из удаляем 8 и 3. Чтобы выполнилось условие , нужно удалить элементы списков 1, 4, 7. Тогда получится, что множества и имеют следующий вид: , , . Заметим, что для этих множеств .

Если под символами 2, 5 и 6 будем понимать соответствующие числа, то мы получим конкретный пример множества , для которых выполнены все условия заданного набора требований.

2. Существуют ли множества такие, что выполняется набор условий: , ?

Решение. Попробуем построить множества так же, как мы это делали в п. 1. Пусть , , . Чтобы выполнялось условие , удаляем элементы списков 6, 7. Для выполнения условия удаляем элементы из списков 2, 3. Но тогда множество не будет содержать элементов. Итак, мы показали, что этот набор условий противоречив, т.е. не существует множеств таких, что выполнены условия упражнения.

Задание 1.5. Выяснить взаимное расположение множеств , если – произвольные подмножества универсального множества .

Пример решения задания 1.5.

Выяснить взаимное расположение множеств:

, , , если – произвольные подмножества универсального множества .

Решение. Возьмём множества , находящиеся в общем положении: , , . В нашем случае, как и при решении задания 1.3, цифры обозначают соответствующие списки переменных. Тогда , , , , , т.е.

, , .

Итак, видим, что включения и выполняются для произвольных множеств .

Если символы 1, 2, 4, 5, 6, 7 обозначают соответствующие числа, имеем, что и , и , , т.е. множества и могут находиться в общем положении.

Задание 1.6. Проверить, что для любых множеств выполнение включения влечёт выполнение включения .

Пример решения задания 1.6.

Доказать, что для любых множеств выполнение включения влечёт выполнение включения .

Решение. Возьмем множества находящиеся в общем положении: , , . В нашем случае, как и при решении предыдущих заданий, цифры обозначают соответствующие списки переменных.

Тогда из включения следует, что список 1 пуст, . Рассмотрим и . Так как , то включение доказано в предположении, что выполнено включение .

Задание 1.7. Для произвольных множеств проверить, является ли выполнение включения необходимым и достаточным условием выполнения равенства .

Пример решения задания 1.7.

Для произвольных множеств проверить, является ли выполнение включения необходимым и достаточным условием выполнения равенства .

Решение. Рассмотрим множества : , , . В нашем случае, как и при решении предыдущих заданий, цифры обозначают соответствующие списки переменных.

1. Посмотрим, какие множества мы получим, если потребуем выполнения условия . и, чтобы было выполнено включение , списки 1, 4, 6 должны быть пусты, и множества будут таковы: , , . Тогда , выполнено.

2. Посмотрим, какой вид примут множества , , , чтобы выполнялось равенство .

Для выполнения равенства нужно, чтобы списки 1, 4 и 6 были пусты, и мы приходим к тем же множествам, что и в п.1, т.е. , , .

Видим, что в этом случае

Значит, доказано, что для любых множеств выполнение включения является необходимым и достаточным условием выполнения равенства .

Задание 1.8. Решить систему соотношений относительно множества и указать условия совместимости системы.

Пример решения задания 1.8.

Решить задание 1.8 для системы

Решение.

I. Построим множества общего положения и множество (рис. 3) такие, что и множества , Х находятся в общем положении.

Рис. 3

Символом 1 обозначим список элементов множества , не попавших ни в одно из множеств , символом 7 – список элементов, попавших в каждое из множеств и т.д. Будем иметь: , , , .

1. , . Эти множества равны в силу первого уравнения системы, значит, списки элементов 2, 4, 5, 7 и 8 пусты. Получили: , , , .

2. , . Данные множества равны в силу второго уравнения системы, следовательно, списки элементов 3 и 9 пусты, и наши множества примут вид:

, , , .

Видим, что , , .

II. Проверим, что множество является решением исходной системы.

Если и , то и можно записать: , , где – списки элементов.

Пусть , тогда: , , .

Видим, что все соотношения системы удовлетворяются, т.е. множество является решением исходной системы при выполнении условий , .

Ответ: , , .

Задание 1.9. Решить систему уравнений относительно множества и указать условия совместности системы или доказать её несовместность.

Пример решения задания 1.9.

Решить задание 1.9 для системы

Решение. Построим множества общего положения , являющиеся подмножествами универсального множества . Для этого выпишем все 16 различных двоичных наборов размерности 4. Пусть разряды этих наборов слева направо соответствуют множествам (табл. 1). Символом 1 обозначим список элементов универсального множества , не попавших ни в одно из множеств (соответствующая строка состоит из нулей), а символом 4 – список элементов, не попавших ни в , ни в , но попавших в и (в четвёртой строке нули относятся к столбцам А и В, единицы к столбцам С и Х ) и т.д.

Таблица 1

№					№
1	0	0	0	0	9	1	0	0	0
2	0	0	0	1	10	1	0	0	1
3	0	0	1	0	11	1	0	1	0
4	0	0	1	1	12	1	0	1	1
5	0	1	0	0	13	1	1	0	0
6	0	1	0	1	14	1	1	0	1
7	0	1	1	0	15	1	1	1	0
8	0	1	1	1	16	1	1	1	1

Имеем следующие списки:

, ,

, , .

1. , . Эти множества равны в силу первого уравнения системы, значит, списки элементов 2, 4, 5, 8, 9, 11, 14 и 15 пусты. Получили: , , , .

2. , . Данные множества равны в силу второго уравнения системы, следовательно, списки элементов 6, 10, 13 пусты и наши множества примут вид , , , .

3. , , в силу третьего уравнения системы получаем, что список 7 пуст, и , , , .

Видим, что ,

II. Проверим, что множество является решением исходной системы.

Если выполнены включения , то можно записать: , , , , где списки элементов.

Пусть , тогда , , .

Видим, что все уравнения системы удовлетворяются, т.е. множество является решением исходной системы при выполнении включений .

Ответ: , .

Задание 1.10. Для произвольных множеств проверить равносильность систем и .

Пример решения задания 1.10.

Проверить равносильность систем

и .

Решение. Возьмём множества общего положения , являющиеся подмножествами универсального множества . Пользуясь техникой, описанной в решении примера 1.9 будем иметь: