- •"Теорія ймовірностей та математична статистика"
- •6.050102 – «Комп’ютерна інженерія»
- •Практичне заняття
- •1 Короткі теоретичні відомості
- •1.1 Розподіли статистик непараметричних критеріїв згоди при простих гіпотезах [3]
- •1.1.1 Критерій Колмогорова
- •1.1.2 Критерій Смірнова
- •1.1.3 Критерії
- •Постановка задачі
- •Варіанти завдань
- •Контрольні питання
- •Список літератури
- •Практична робота
- •«Теорія ймовірностей та математична статистика»
- •39600, М. Кременчук, вул. Першотравнева, 20
Практичне заняття
Тема. перевірка статистичних гіпотез. установлення виду математичної моделі розподілу випадкової величини
Мета: закріплення на практиці таких понять, як статистична гіпотеза, параметричні та непараметричні статистичні критерії; набуття навичок у використанні можливостей пакетів MathCAD та Statgraphics для обчислення значень статистичних критеріїв та перевірки за допомогою їх статичних гіпотез щодо закону розподілу випадкової величини, зокрема з використанням стандартних функцій для розрахунку квантилів.
1 Короткі теоретичні відомості
Характеристики, що дозволяють виконати топографічну класифікацію розподілу згідно з [1, 2]:
- Коефіцієнт форми знаходиться як
, (1)
де – оцінка ексцесу.
- Оцінка ентропійного коефіцієнта:
, (2)
де – вибіркове виправлене СКВ; – вибіркове ентропійне значення похибки; d – ширина інтервалу вибіркового розподілу; m – число інтервалів; n – об’єм вибірки; – частоти;
- Оцінка контрексцеса
, (3)
де – вибірковий центральний момент 4-го порядку; – середнє арифметичне.
1.1 Розподіли статистик непараметричних критеріїв згоди при простих гіпотезах [3]
1.1.1 Критерій Колмогорова
У разі простих гіпотез граничні розподіли статистик даних критеріїв згоди Колмогорова, Смірнова, і Мізеса відомі та не залежать від виду спостережуваного закону розподілу і, зокрема, від його параметрів. Говорять, що ці критерії є “вільними від розподілу”. Це достоїнство зумовлює широке використання даних критеріїв на практиці.
Розподіл статистики
, (4)
де – емпірична функція розподілу, – теоретична функція розподілу, – об'єм вибірки, було отримано Колмогоровим. При розподіл статистики збігається рівномірно до розподілу Колмогорова
. (5)
Найчастіше в критерії Колмогорова (Колмогорова-Смірнова) використовується статистика виду
, (6)
де
, (7)
, (8)
, (9)
де - об'єм вибірки, – впорядковані за збільшенням вибіркові значення, – функція закону розподілу, згода з яким перевіряється. Розподіл величини при простій гіпотезі в межі підкоряється закону Колмогорова .
Якщо для обчисленого щодо вибірки значення статистики виконується нерівність
, то немає підстав для відхилення гіпотези .
1.1.2 Критерій Смірнова
У критерії Смірнова використовується статистика
, (10)
або статистика
, (11)
значення яких обчислюються за еквівалентними співвідношеннями (8),(9).
Реально в критерії звичайно використовується статистика [3]
, (12)
яка при простій гіпотезі в межі підкоряється розподілу з числом степенів вільності, що дорівнює 2.
Гіпотеза не відкидається, якщо для обчисленого щодо вибірки значення статистики :
.
1.1.3 Критерії
У критеріях типу відстань між гіпотетичним та істинним розподілами розглядається в квадратичній метриці.
Гіпотеза , що перевіряється, має вигляд
(13)
при альтернативній гіпотезі
, (14)
де – оператор математичного сподівання, – задана на відрізку ненегативна функція, щодо якої передбачається, що , , є інтеґровними на відрізку . Статистика критерію виражається співвідношенням
, (15)
де
, .
При виборі для критерію Мізеса одержують статистику вигляду (статистику Крамера-Мізеса-Смірнова)
, (16)
яка при простій гіпотезі підкоряється розподілу, що має вигляд [3]
, (17)
де – модифіковані функції Бесселя,
. (18)
При виборі для критерію Мізеса статистика набуває вигляду (статистика Андерсона-Дарлінга)
. (19)
У межі ця статистика підлягає розподілу, що має вигляд
. (20)
Гіпотези про згоду не відкидаються, якщо виконуються нерівності
і .
Методичні рекомендації. Перш ніж приступати до виконання індивідуального завдання, необхідно опрацювати матеріал лекцій № 4 - 5 розділу «Математична статистика» курсу «Теорія ймовірностей та математична статистика», електронна версія якої міститься на веб-сервері кафедри. Далі отримати номер варіанта завдання у викладача. Після цього приступити до опрацювання пункту методичних вказівок «Постановка задачі» та вивчення відповідного прикладу виконання завдання в середовищі MathCAD (додаток А), електронна версія якого також міститься на веб-сервері кафедри у розділі «Методичні вказівки до самостійної роботи». Наступним етапом є виконання індивідуального завдання в середовищі MathCAD, а потім у середовищі Statgraphics. Після цього приступити до оформлення звіту.