Плоский рух твердого тіла
3.1. Довідкові дані
Плоским називається такий рух тіла, при якому всі точки тіла рухаються паралельно деякій нерухомій площині. Траєкторії всіх точок тіла є плоскими і рух тіла зводиться до руху проекції цього тіла на певну площину.
Плоский рух тіла можна розглядати як суму поступального руху разом із довільно обраним полюсом А та обертального руху навколо цього полюса. Кінематичні рівняння плоского руху (рис. 6):
Рис.
6
З
цих рівнянь можна визначити швидкість
та прискорення полюса А (
та
), кутову швидкість та прискорення
обертальної частини руху
та
.
Якщо
відомі
,
та
,
можна визначити також швидкість та
прискорення будь-якої іншої точки тіла
В.
Швидкість точки В можна визначити трьома способами:
а) скориставшись теоремою про додавання швидкостей, будуючи паралелограм швидкостей (рис. 7,а,б):
=
+
,
де
(напрям
);
б) скориставшись теоремою про проекції швидкостей точок тіла на пряму, що їх з’єднує (рис. 7, б):
;
в)
за допомогою миттєвого центра
швидкостей
,
який співпадає з миттєвим центром
обертання тіла (рис. 7, а,б,в):
.
Рис. 7
Миттєвий
центр швидкостей
- це точка плоскої фігури, швидкість
якої в даний момент часу дорівнює нулеві
(
0).
Його положення можна визначити як точку перетину перпендикулярів до векторів швидкостей точок плоскої фігури.
Прискорення
будь-якої точки В тіла при плоскому русі
можна визначити, скориставшись теоремою
про додавання прискорень: прискорення
полюса
,
обертального
та доцентрового
прискорень точки В навколо полюса
А (рис. 8):
,
Рис. 8
де
(спрямоване від точки В до полюса А);
(спрямоване
АВ в бік
).
Якщо траєкторії точок А та В відомі, то векторне рівняння приймає вигляд:
.
Звичайно це векторне рівняння містить 2 невідомі (модуль або напрямок вектора). Для їх визначення проектують векторне рівняння на 2 осі, отримують 2 скалярних рівняння.
3.2. Задача № 2 (Рис. 9)
3.3. Приклад розв’язку задачі
Задача.
Визначити швидкість та прискорення
точки А на ободі колеса радіуса
= 1 м, що котиться без ковзання по нерухомій
поверхні, якщо в даний момент часу
= 2 м/с,
= 1 м/с2,
= 1500 (рис.10,а).
Розв’язок.
Малюємо колесо в масштабі, а точку М в заданому положенні.
Колесо – рух плоский.
Миттєвий центр швидкостей колеса знаходиться в точці контакту колеса з нерухомою поверхнею.
Кутова швидкість та кутове прискорення колеса:
рад/с.
Аналогічно
рад/с2.
Напрямок
кутової швидкості, тобто напрямок
обертання колеса навколо точки
,
визначає швидкість точки С
Рис. 10
Аналогічно визначається напрямок кутового прискорення.
Швидкість точки А (рис. 10,б)
.
Миттєвий
радіус обертання визначаємо із трикутника
за теоремою косинусів:
=
м.
Рис. 9
Тоді
м/с.
Напрямок
:
в бік
.
Прискорення точки А
.
а) дотичне прискорення точки А при обертанні колеса навколо полюса С
м/с2 (
в
бік
),
нормальне прискорення
м/с2
(
спрямоване вздовж АС до точки С) (рис.
10,б);
б) прискорення точки С
тому що
;
в) прискорення точки А
Через те, що траєкторія точки А не задана (невідома), векторне рівняння приймає вигляд:
.
Проектуємо
одержане рівняння на осі
та
(
спрямована вздовж АС,
АС) рис. 10,б):
м/с2;
м/с2.
За проекціями визначаємо модуль прискорення точки А:
=
=
м/с2.
7.
Відповідь: Швидкість точки
=
4,32 м/с, прискорення точки А
=
5,57 м/с2.