-
Министерство образования Российской Федерации
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ПММ
Кафедра вычислительной математики
Руководство к решению задач по алгебре
Часть I
Методическое пособие по курсу “Алгебра и геометрия”
для студентов 1-го курса дневного и вечернего отделений факультета ПММ,
1-го курса математического факультета
-
СОСТАВИТЕЛИ:
Глушакова Т.Н.
Удоденко Н.Н.
Бондаренко Ю.В.
Воронеж – 2002
СОДЕРЖАНИЕ
§1 Матрицы (действия над ними, обратная матрица) …………………………3
§2. Определители: определение, свойства и вычисление ….…………………. 13
§3. Правило Крамера …….………………………………………….……………50
§4. Ранг матрицы. Критерий совместности линейной системы …..……….…..51
§5. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений .……….…………….54
§1. Матрицы (действия над ними, обратная матрица)
Определение 1. Матрицей
размеров
называется совокупность
чисел, расположенных в виде таблицы
из
строк и
столбцов:
.
Числа
,
составляющие матрицу, мы будем называть
элементами матрицы.
Определение 2. Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк – ее порядком. Остальные матрицы называются прямоугольными.
Определение
3. Матрица, все элементы которой равны
нулю, называется нулевой матрицей:
.
Определение 4. Квадратная матрица, диагональные элементы которой равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной:
.
Определение 5. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.
Определение 6. Квадратная матрица
-го порядка называется нижнетреугольной.
Определение 7. Квадратная матрица
-го порядка называется верхнетреугольной.
Замечание. В том случае, когда нам не важно, является матрица нижнетреугольной или верхнетреугольной, говорят просто “треугольная матрица”.
1.1. Действия над матрицами
1.1.1. Сложение и умножение на число
Пусть
и
– матрицы, состоящие из
строк и
столбцов.
Определение 8. Матрица
,
элементы которой определяются по
формуле
,
называется суммой матриц
и
и обозначается
:
.
Замечание. Сумма определена только для матриц одних и тех же размеров.
Определение 9. Матрица
,
элементы которой определяются по формуле
,
где
– некоторое число, называется произведением
матрицы
на число
и обозначается
:
.
Утверждение. Для любых матриц
,
и
одних и тех же размеров и любых чисел
и
выполнены равенства:
;
;
;
.
1.1.2. Умножение матриц
Пусть даны матрицы
и
.
Определение 10. Произведением
матриц
и
называется такая матрица
,
элементы которой определяются по
формулам
,
то есть элемент
равен сумме произведений элементов
-той
строки матрицы
на элементы
-го
столбца матрицы
.
Замечание 1. Целесообразность такого определения произведения матриц мы проиллюстрируем следующей задачей.
Задача.
Пусть дана линейная функция двух
переменных
,
а
и
,
в свою очередь, являются линейными
функциями переменных
и
,
то есть
и
.
Найти зависимость
от
и
.
После несложных элементарных выкладок
получим
.
Коэффициенты
при
и
– это элементы матрицы, являющейся
произведением матриц
и
.
Замечание 2. Произведение матриц
некоммутативно, то есть в общем
случае
.
Если дана матрица
,
то произведение
– это матрица
,
а
– это матрица
.
Определение 11. Две матрицы
и
называются перестановочными, если
.
№ 822 (П).
Найти все матрицы, перестановочные с
матрицей
.
Р е ш е н и е.
Пусть
– матрица, которую нам надо найти.
Тогда
.
Ответ:
,
где
– любые числа.
Определение 12. Если в матрице
строки и столбцы поменять местами, то
полученная матрица
называется транспонированной к
матрице
.
Определение 13. Преобразование матрицы, при котором строки матрицы становятся столбцами с теми же номерами, а порядок элементов не меняется, называется транспонированием.