- 65 -

Определение 2. Матрица называется расширенной матрицей системы.

Замечание. Для однородной системы столбец свободных членов не выписывается.

Определение 3. Решением системы (5.1.1) называется такая совокупность чисел , которая при подстановке в систему (5.1.1) на место неизвестных обращает все уравнения этой системы в тождества.

Определение 4. Две системы с одними и теми же неизвестными эквивалентны (равносильны), если каждое решение одной из систем является решением другой или обе системы несовместны (то есть не имеют решений).

Определение 5. Система линейных уравнений называется совместной, если существует хотя бы одно решение этой системы, и несовместной, если решений нет.

Определение 6. Система линейных однородных уравнений (СЛОУ) называется нетривиально совместной, если она имеет хотя бы одно ненулевое решение.

Замечание. СЛОУ всегда совместна, так как всегда существует нулевое решение.

Система линейных уравнений

совместна несовместна

(решение существует) (решений нет)

определенная неопределенная

(решение единственно) (существует более одного решения)

Критерии совместности линейных систем:

1) Система

совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы

этой системы равен рангу расширен-ной матрицы : .

2. Для того, чтобы система линейных однородных уравнений с квадратной матрицей была нетривиально совместной, необходимо и достаточно, чтобы .

2. Метод Гаусса

1. В этом пункте мы будем рассматривать системы линейных уравнений с

квадратными матрицами, определители которых отличны от нуля (то есть система имеет единственное решение):

.

Над уравнениями системы можно производить элементарные преобразования (см. §4), которые переводят систему в эквивалентную ей.

Одним из методов решения систем является метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса), основанный на использовании элементарных преобразований и приведении системы к треугольному или трапециевидному виду.

На практике при решении систем

методом Гаусса сначала выписывают расширенную матрицу этой системы:

.

Будем считать, что , в противном случае всегда можно переставить строки матрицы так, чтобы в первой строке стоял элемент, отличный от нуля. Затем, если есть строка, начинающаяся с 1, ее переставляют вверх.

Первую строку просто переписываем. Для получения 1-го нулевого столбца под главной диагональю лучше умножить 1-ю строку на множитель , 2-ую – на ( чтобы не было дробных множителей) и прибавить измененную 1-ю строку ко второй, затем умножить исходную 1-ю строку на , 3-ю – на и прибавить измененную 1-ю строку к третьей и т.д., то есть 1-ая строка умножается на множитель , а -тая – соответственно на и измененная 1-я строка прибавляется к -той. За один проход сразу убирается весь столбец под главной диагональю. Получим следующую матрицу:

.

Если элемент , то найдем во 2-м столбце элемент и переставим 2-ю и -тую строки. Если же все элементы , то просматриваем остальные столбцы, начиная с третьего. Пусть в -м столбце второй строки элемент , тогда поменяем местами 2-ой и -тый столбцы (не забыв, что порядок переменных также соответственно меняется).

Затем оставляем первые две строки без изменений, вторую строку умножаем на множитель , а -тые строки – на , и прибавляем измененную вторую строку последовательно к 3, 4,…, -ой строкам. И так продолжаем до тех пор, пока не пройдем все строки. В результате получим матрицу

.

После того, как матрица приведена к треугольному виду, удобно продолжить преобразования дальше и привести матрицу к диагональному виду. Для этого умножим -ю строку на , а -тую строку – на и прибавим -ю строку последовательно к -ой, -ой, и так до 1-ой строки. Полученная матрица будет иметь следующий вид:

.

Затем аналогичные преобразования будут проделаны с -ой строкой и так далее, пока мы не получим диагональную матрицу

.

Разделим теперь -тую строку на , а 1-ую строку – на . И окончательно получаем

.

Таким образом, .

Пример 5.2.1. Решить систему уравнений .

Р е ш е н и е.

.

Ответ: , , , .