-
,
где в определителе под знаком суммы -я строка – это строка . Раскладывая каждый определитель под знаком суммы по -й строке, получим следующую формулу
, (2.7.2.2)
где через обозначен определитель
,
а через -- алгебраическое дополнение к элементу определителя .
Формулой (2.7.2.2) удобно пользоваться в том случае, когда путем изменения элементов определителя на одно и то же число он приводится к виду, в котором легко считать алгебраические дополнения , в частности, когда значительная их часть равна нулю.
Пример 2.7.2.1. Вычислить определитель
.
Р е ш е н и е.
Обозначим через определитель, полученный из вычитанием 1 из всех его элементов, т.е. .
Очевидно, что . Алгебраические дополнения к внедиагональным элементам определителя равны нулю, а к диагональным . Тогда, в силу формулы (2.7.2.2),
.
Пример 2.7.2.2. Вычислить определитель
.
Р е ш е н и е.
Вычитаем из всех элементов определителя величину и обозначаем через определитель
.
Очевидно, что , алгебраические дополнения к внедиагональ-ным элементам, как и в примере 2.7.2.1, равны нулю, а к диагональным . Таким образом,
.
Упражнения.
Вычислить определители
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) .
2.7.3. Метод выделения линейных множителей
Пусть элементы определителя -– многочлены от одной или нескольких переменных. При преобразованиях выясняется, что определитель делится на ряд линейных множителей. Находим частное от деления определителя и тем самым получаем выражение определителя.
Пример 2.7.3.1. Вычислить определитель
. (2.7.3.1)
Р е ш е н и е.
Прибавив к первой строке вторую, третью и четвертую строку, получим, что
.
Вычтем из первой строки вторую и четвертую, прибавим третью. Получим, что
.
Прибавляя к первой строке третью и вычитая вторую и четвертую, получим
.
Наконец, прибавляя к первой строке четвертую и вычитая вторую и третью, видим, что
.
Так как – независимые переменные и множители , , , взаимно простые, то определитель (2.7.3.1) делится на их произведение. Это произведение содержит член . Значит,
.
Пример 2.7.3.2. Вычислить определитель
. (2.7.3.2)
Р е ш е н и е.
Определитель (2.7.3.2) является многочленом от переменной . Корнями этого многочлена являются те значения , при которых определитель (2.7.3.2) равен нулю. При в (2.7.3.2.) совпадают 1-я и 2-я строки, а значит, определитель (2.7.3.2) делится на , так как – корень многочлена. При в (2.7.3.2) совпадают 1-я и 3-я строки, а значит, исходный определитель делится на , и т.д. Таким образом, (2.7.3.2) делится на . Очевидно, что коэффициент при старшей степени многочлена равен 1. Таким образом,
.
У п р а ж н е н и я.
Вычислить следующие определители методом выделения линейных множителей :
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) .
Метод рекуррентных соотношений
Суть метода рекуррентных соотношений заключается в том, что данный определитель -го порядка выражают, преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное равенство называется рекуррентным или возвратным соотношением.
Этот способ можно видоизменить следующим образом. В рекуррентное соотношение, выражающее определитель -ого порядка через определители низшего порядка, подставляют выражение определителя -го порядка, получающегося заменой на , затем подобным образом подставляют выражение определителя -го порядка и т.д., пока не придем к общему выражению данного определителя -го порядка.
Пример 2.7.4.1. Вычислить определитель -го порядка
. (2.7.4.1)
Р е ш е н и е.
Разложим определитель по последней строке
или
. (2.7.4.2)
Теперь вычислим определитель (2.7.4.1), пользуясь формулой (2.7.4.2). Для , для . Положим, что
.
Предположим, что . В силу (2.7.4.2) имеем
Пример 2.7.4.2. Вычислить определитель -ого порядка
.
Р е ш е н и е.
Разложим по последней строке, получим
(2.7.4.3)
.