- •Руководство к решению задач по алгебре
- •Часть II Жорданова форма матрицы и жорданов базис
- •§1. Собственные векторы и собственные значения оператора.
- •Рассмотрим линейный оператор в пространстве и пусть – матрица этого оператора в некотором базисе .
- •1.2. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения
- •Жорданова форма матрицы и жорданов базис
- •Алгоритм нахождения жорданова базиса для одной жордановой клетки
- •Алгоритм нахождения жордановой формы и жорданова базиса для матрицы 3-го порядка
- •1.5. Функции от матриц
- •§ 2. Жорданова форма матрицы
- •Оператор простой структуры
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Руководство к решению задач по алгебре
Часть II Жорданова форма матрицы и жорданов базис
Практическое пособие по курсу “Алгебра и геометрия”
для студентов по специальности
Воронеж
2003
§1. Собственные векторы и собственные значения оператора.
Жорданова форма матрицы и жорданов базис
Рассмотрим линейный оператор в пространстве и пусть – матрица этого оператора в некотором базисе .
Определение 1. называется характеристическим многочленом матрицы ( – единичная матрица порядка ).
Определение 2. Вектор называется собственным вектором оператора , если , а – собственным значением оператора , соответствующим собственному вектору .
Алгоритм нахождения собственного значения и собственного вектора оператора
1) Найдем все корни характеристического многочлена , получим – спектр оператора (множество всех собственных значений);
2) подставим в систему
,
решим ее и найдем все собственные векторы, отвечающие собственному значению , затем подставим и т.д.
1.2. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения
Определение 3. Кратность корня в характеристическом многочлене называется алгебраической кратностью собственного значения .
Определение 4. Геометрической кратностью собственного значения называется размерность собственного подпространства оператора
.
Утверждение. , где – порядок матрицы оператора .
Теорема. Оператор в базисе имеет диагональную матрицу в том и только том случае, когда базисные векторы – собственные, то есть для всех .
Жорданова форма матрицы и жорданов базис
Определение 5. Жордановой клеткой называется клетка вида
. (1.1)
Теорема. Для произвольного оператора существует базис пространства , в котором матрица оператора имеет клеточно-диагональный вид, причем на главной диагонали стоят жордановы клетки вида (1.1).
Этот базис называется жордановым, а данный канонический вид матрицы называется жордановой формой.
Замечание. Жорданова форма определяется однозначно с точностью до порядка клеток (каждой клетке с соответствует один собственный вектор).
Алгоритм нахождения жорданова базиса для одной жордановой клетки
Рассмотрим жорданову клетку вида (1.1). По определению матрицы оператора в 1-м столбце стоит вектор , разложенный по базису :
,
поэтому
.
Во 2-м столбце матрицы находится вектор , разложенный по этому же базису и т.д.
Таким образом, собственный вектор находим как решение системы , присоединенный вектор – как решение системы . Очевидно, что
.
Продолжая аналогичные рассуждения, для вектора получим .
Определение 6. Вектор называется присоединенным вектором высоты .
Жорданов базис состоит из собственных и присоединенных к ним векторов.
Утверждение. Алгебраическая кратность собственного значения равна сумме размеров жордановых клеток с этим собственным значением.
Утверждение. Геометрическая кратность собственного значения равна числу клеток в жордановой форме с собственным значением или числу линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению .