МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Донецький національний університет економіки

і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського

Кафедра вищої і прикладної математики

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

для практичних занять та організації самостійної роботи студентів

за інтегрованою формою навчання

напряму підготовки 050503 – Машинобудування

Спеціалізація «Обладнання переробних і харчових виробництв»

Дон НУЕТ

Донецьк

2012

Міністерство освіти І науки,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ України

Донецький національний університет економіки

і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського

Кафедра вищої і прикладної математики

С.М. Латинін

ВИЩА МАТЕМАТИКА

Навчально-методичні рекомендації

для практичних занять та організації самостійної роботи студентів за інтегрованою формою навчання

напряму підготовки 050503 – Машинобудування

Спеціалізація «Обладнання переробних і харчових виробництв»

(у рамках ECTS)

Затверджено

на засіданні кафедри

вищої і прикладної математики

Протокол № 28 від « 9 » квітня 2012 р.

Схвалено навчально-методичною

радою університету

Протокол № від « » квітня 2012 р.

Дон НУЕТ

Донецьк

2012

УДК 517/.519.2

ББК 22.1я73

Л 14

Рецензенти:

О.К. Щетініна – д-р фіз.-мат. наук, проф.;

О.І. Бескровний – канд. техн. наук, старш. викл.

Латинін С.М.

Л 14 Вища математика: навч.-метод. рек. для практ. занять та організ. самост. роботи студ. за інтегр. формою навчання напряму підготовки 050503 – Машинобудування спеціалізація «Обладнання переробних і харчових виробництв» (у рамках ECTS) / С.М. Латинін. – Донецьк: ДонНУЕТ, 2012. – 97 с.

Методичні рекомендації призначені для організації практичних занять та самостійної роботи студентів за інтегрованою формою навчання (напряму підготовки 050503 – Машинобудування, спеціалізація «Обладнання переробних і харчових виробництв») за курсом “Вища математика” у відповідності з новими стандартами підготовки фахівців в рамках ECTS. Їх може бути використано також студентами інших спеціальностей і форм навчання.

Розробка містить деякі теоретичні питання, конкретні рекомендації і докладні коментарі прикладів розв’язування завдань основних типів відповідного змісту, а також індивідуальні завдання для самостійної роботи студентів.

УДК 517/.519.2

ББК 22.1я73

 Латинін С.М., 2012

 Донецький національний університет

економіки і торгівлі імені Михайла

Туган-Барановського, 2012

зміст
Вступ…………………………………………………………..…………………….………...			4
МОДУЛЬ 1 Елементи лінійної алгебри, вектори та аналітичної геометрії. Вступ до математичного аналізу…………….............................................................…			5
	1.1	Елементи лінійної алгебри ..….…….................................…………....……...….	5
		1.1.1 Поняття матриці. Визначники 2-го і 3-го порядків ..............................…	5
		1.1.2 Скалярний, векторний, змішаний добутки векторів, їх властивості та вираз через координати ............................................................................	7
	1.2	Аналітична геометрія…………….…….…........……….………………….…….	12
		1.2.1 Рівняння прямої на площині ……......................…………………..….…..	12
		1.2.2 Рівняння площини і прямої в просторі ……....................................……..	15
	1.3	Теорія границь ……………………………………………………………..……..	21
		1.3.1 Поняття границі функції. Властивості границь …………………….…..	21
		1.3.2 Розкриття невизначеностей ……......................................................……..	23
	1.4	Диференціальне числення функцій однієї та декількох змінних ………...…..	25
		1.4.1 Похідна функції. Формули та правила диференціювання …………..…	25
		1.4.2 Застосування похідних для дослідження функцій ....................................	29
		1.4.3 Диференціальне числення функцій декількох змінних …….…….…….	32
Контрольна робота № 1 ……..……………......……………..…….…………….………			34
МОДУЛЬ 2 Невизначений, визначений і невласний інтеграли. Диференціальні рівняння. Кратні, криволінійні і поверхневі інтеграли ……………………………..….			43
	2.1	Інтегральне числення функцій однієї змінної.….....................………….……..	43
		2.1.1 Неозначений інтеграл, його властивості. Основні методи Інтегрування	43
		2.1.2 Властивості визначеного інтеграла. Заміна змінними та інтегрування частинами ………..……………….…………………………...………….	47
		2.1.3 Невласні інтеграли .………………….…………….…………...………….	49
	2.2	Диференціальні рівняння ………………………….…..…........................……...	51
		2.2.1 Основні поняття. Диференціальні рівняння 1–го порядку: з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні ..........................................…....	51
		2.2.2 Диференціальні рівняння 2–го порядку .............................................…....	54
	2.3	Інтегральне числення функцій декількох змінних …….…………………..…..	56
		2.3.1 Кратні інтеграли ….....................................……………..……………..…..	56
		2.3.2 Криволінійні і поверхневі інтеграли …............................................……..	57
Контрольна робота № 2 ………..……..…………………..….........……………………			59
МОДУЛЬ 3 Числові і функціональні ряди. Ряди Фур’є. Комплексні числа та аналітичність функцій комплексної змінної ...........................................................……...			64
	3.1	Числові ряди ……………………………....…..….……………………..………..	64
		3.1.1 Необхідна і достатня ознаки збіжності рядів …........................................	64
		3.1.2 Ряди з чергуванням знаків членів. Ознака Лейбніца.........................…....	66
	3.2	Функціональні ряди ……………………………...........…..……………………..	67
		3.2.1 Степеневі ряди. Знаходження області збіжності рядів ............................	67
		3.2.2 Ряди Фур’є ....................................................................................................	69
Контрольна робота № 3 ……………..……..………………..............……..……………			70
МОДУЛЬ 4 Теорія ймовірностей і елементи математичної статистики ……..…………			74
	4.1	Випадкові події. Класична та статистична ймовірності. Основні формули та теореми теорії ймовірностей ..........................................................................…..	74
	4.2	Випадкові величини. Закони розподілу …….................................................…..	82
Контрольна робота № 4 …………………………...............……………….……………			87
Література ………………………………………………..…………..………………………			95

ВСТУП

В сучасному інформаційному суспільстві спеціаліст повинен відповідати певним вимогам, а також розвивати наявність таких умінь, як виділяти з інформації головне і другорядне; бачити інформацію в цілому, а не фрагментарно; встановлювати асоціативні зв'язки між інформаційними повідомленнями; інтерпретувати інформацію, отримані результати, передбачати і прогнозувати наслідки прийнятих рішень. Завдання підвищення рівня самостійної навчальної діяльності студентів є одним із пріоритетів Болонського процесу. Ринок праці висуває вимоги не тільки до рівня фундаментальних знань потенційного працівника взагалі, а й до рівня його професійної компетенції. Наявність “чистих” математичних знань не є кінцевою вимогою до підготовки фахівців. Цінність математичних знань, в першу чергу, у тому, що вони є базою для інших, насамперед спеціальних предметів. Тому важливо розділяти базові (породжені логікою самої науки, яка відповідає сучасним уявленням) та варіативні (скориговані вимогами до професійних знань) елементи математичної освіти. Варіативні доцільно формувати на основі інтеграції математики та спеціальних дисциплін. У професійній підготовці фахівців математика є базовою дисципліною, свого роду міждисциплінарною мовою.

Навчальний матеріал посібника містить велику кількість задач з рішеннями та практичними вказівками методичного характеру, які дозволяють значно легше і більш глибоко засвоїти відповідні теоретичні положення. У посібнику розглянуто достатнє число прикладів, більшість з яких розроблені автором. У посібнику приведені завдання для контрольних робіт з усіх модулів на 30 варіантів.

Даний посібник націлений на стимулювання та організацію систематичної самостійної роботи студентів денної інтегрованої форми навчання та на організацію їх практичних занять. Усі теми викладаються за єдиним методичним принципом. Спочатку подаються основні означення, формулюються теореми, далі – детально розбираються типові приклади, які ілюструють конкретні застосування теоретичного матеріалу.

Модуль 1 Елементи лінійної алгебри, вектори та аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу

1.1 Елементи лінійної алгебри

1.1.1 Поняття матриці . Визначники 2-го і 3-го порядків

Матрицею називається сукупність чисел (де та ), розташованих у вигляді прямокутної таблиці, що складається з рядків і стовпців

. (1.1.1)

Числа цієї таблиці називаються елементами матриці, в яких перший індекс позначає номер рядка, а другий – номер стовпця, на перетині яких міститься елемент. Якщо матриця містить рядків і стовпців, то кажуть, що матриця має розмір .

Матриця, отримана з даної матриці заміною її рядків стовпцями з тими ж номерами, називається транспонованою. Транспоновану матрицю позначають символом .

Квадратною матрицею називається матриця, у якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців ( ). Елементи квадратної матриці утворюють головну діагональ матриці, а елементи – побічну діагональ матриці.

Сумою (різницею ) двох матриць і однакового розміру називається матриця такого ж розміру, елементами якої є суми відповідних елементів матриць, тобто

( ). (1.1.2)

Добутком матриці на число називається матриця , така що

. (1.1.3)

Матриця називається узгодженою з матрицею , якщо кількість стовпців матриці дорівнює кількості рядків матриці .

Добутком матриці розміру на матрицю розміру називається така матриця розміру , для якої

, (1.1.4)

тобто елемент матриці дорівнює сумі парних добутків елементів – го ряда матриці на відповідні елементи – го стовпця матриці .

○ Приклад 1.1.1. Знайти добуток матриць

і .

Розв'язання. Оскільки у матриці три стовпці, а у матриці три рядки, то можна знайти добуток:

.

Таким чином, добутком буде матриця розміру .

Зауваження. Оскільки у матриці п'ять стовпців, а у матриці чотири рядки, то не можна знайти добуток . Квадратні матриці одного порядку можна перемножувати у будь-якій послідовності. ●

Визначником квадратної матриці другого порядку називається число, яке дорівнює і позначається символом

. (1.1.5)

Формула (1.1.5) є правилом обчислення визначника другого порядку: визначник другого порядку дорівнює різниці добутку елементів, які стоять на головній діагоналі ( ) і добутку елементів, які стоять на побічній діагоналі ( ).

○ Приклад 1.1.2. Обчислити визначник другого порядку .

Розв'язання. За формулою (1.1.5) знаходимо . ●

Визначником квадратної матриці третього порядку

називається число, яке позначають символом

. (1.1.6)

а) б)

Рис. 1.1.1 - Правило Саррюса

Правило обчислення визначника третього порядку (правило Саррюса): це алгебраічна сума шести потрійних добутків елементів, що стоять в різних рядках і різних стовпцях: із знаком плюс беруться добутки елементів розміщених на головній діагоналі й елементів, розміщених у вершинах двох рівнобоких трикутників, основи яких паралельні головній діагоналі (рис. 1.1.1а); із знаком мінус – добутки елементів побічної діагоналі й елементів, розміщених у вершинах рівнобоких трикутників, основи яких паралельні побічній діагоналі (рис. 1.1.1б).

○ Приклад 1.1.3. Обчислити визначник третього порядку .

Розв'язання. За формулою (1.1.6) знаходимо

. ●