- •Модуль 1 Елементи лінійної алгебри, вектори та аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу
- •1.1 Елементи лінійної алгебри
- •1.1.1 Поняття матриці . Визначники 2-го і 3-го порядків
- •1.1.2 Скалярний, векторний, змішаний добутки векторів, їх властивості та вираз через координати
- •1.2 Аналітична геометрія
- •1.2.1 Рівняння прямої на площині
- •1.2.2 Рівняння площини і прямої в просторі
- •1.3 Теорія границь
- •1.3.1 Поняття границі функції. Властивості границь
- •1.3.2 Розкриття невизначеностей
- •1.4 Диференціальне числення функцій однієї та декількох змінних
- •1.4.1 Похідна функції. Формули та правила диференціювання
- •1.4.2 Застосування похідних для дослідження функцій
- •1.4.3 Диференціальне числення функцій декількох змінних
- •Модуль 2 Невизначений, визначений і невласний інтеграли. Диференціальні рівняння. Кратні, криволінійні і поверхневі інтеграли
- •2.1 Інтегральне числення функцій однієї змінної
- •2.1.1 Неозначений інтеграл, його властивості. Основні методи інтегрування
- •2.1.2 Властивості визначеного інтеграла. Заміна змінного та інтегрування частинами
- •2.1.3 Невласні інтеграли
- •2.2 Диференціальні рівняння
- •2.2.1 Основні поняття. Диференціальні рівняння 1–го порядку: з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні
- •2.2.2 Диференціальні рівняння 2–го порядку
- •2.3 Інтегральне числення функцій декількох змінних
- •2.3.1 Кратні інтеграли
- •2.3.2 Криволінійні і поверхневі інтеграли
- •Модуль 3 Числові і функціональні ряди. Ряди Фур’є. Комплексні числа та аналітичність функцій комплексної змінної
- •3.1 Числові ряди
- •3.1.1 Необхідна і достатня ознаки збіжності рядів
- •3.1.2 Ряди з чергуванням знаків членів. Ознака Лейбніца.
- •3.2 Функціональні ряди
- •3.2.1 Степеневі ряди. Знаходження області збіжності рядів
- •3.2.2 Ряди Фур’є
- •Модуль 4 Теорія ймовірностей і елементи математичної статистики
- •4.1 Випадкові події. Класична та статистична ймовірності. Основні формули та теореми теорії ймовірностей
- •4.2 Випадкові величини. Закони розподілу
- •Література
2.1.2 Властивості визначеного інтеграла. Заміна змінного та інтегрування частинами
Обчислення визначених інтегралів для неперервної функції полягає в наступному: спочатку знаходять невизначений інтеграл (або первісну ), а потім користуються формулою Ньютона-Лейбніца:
. (2.1.7)
Приведемо без доведення основні властивості визначеного інтеграла:
1. Якщо , то .
2. , де - інтегрована на відрізку функція, ( ).
3. .
4. Якщо функція інтегрується на найбільшому з відрізків , , , то вона інтегрована на двох інших відрізках, причому
,
де .
5. Якщо функція інтегрована на відрізку , то функція , де – постійне число, також інтегрована, причому
.
6. Якщо функції , , …, інтегровані на відрізку , то їх алгебраїчна сума також інтегрована, причому
.
○ Приклад 2.1.5. Обчислити інтеграли: а) ; б) .
Розв'язання.
а) ;
б) . ●
Методи обчислення визначених інтегралів такі ж, як і при знаходженні невизначених інтегралів.
Метод заміни змінної. Якщо виконані умови: 1. функція неперервна на відрізку ; 2. відрізок є множиною значень функції , що визначена на відрізку і має на ньому неперервну похідну; 3. , , то справедлива формула
. (2.1.8)
○ Приклад 2.1.6. Обчислити інтеграли:
а) ; б) .
Розв'язання. а) ;
б) . ●
Метод інтегрування частинами. Якщо функції , мають неперервні похідні на відрізку , то справедлива формула
. (2.1.9)
○ Приклад 2.1.7. Обчислити інтеграли: а) ; б) .
Розв'язання. а)
;
б)
. ●
2.1.3 Невласні інтеграли
Розрізняють невласні інтеграли I– го і II– го роду.
Невласними інтегралами I– го роду називаються інтеграли з нескінченним проміжком інтегрування (або , або ), які визначаються формулами:
; (2.1.10)
; (2.1.11)
, (2.1.12)
Невласні інтеграли можуть мати як скінчене, так і нескінченне значення. Якщо границі не існують або дорівнюють нескінченності, то невласні інтеграли називаються тими, що розбігаються.
○ Приклад 2.1.8. Дослідити на збіжність інтеграли:
а) ; б) .
Розв'язання.
а)
. Інтеграл збігається і його значення дорівнює 1;
б)
.
Оскільки границя не існує, то інтеграл розбігається. ●
Невласним інтегралом II – го роду від функції на за умови, що має розрив другого роду при називається інтеграл, що визначається за формулою
, (2.1.13)
де , .
Інтеграл (2.1.13) збігається, якщо границі в (2.1.13) скінчені і існують. В протилежному випадку інтеграл є таким, що розбігається.
Якщо підінтегральна функція має розрив II – го роду в точках або , то відповідні інтеграли II – го роду обчислюються за формулами:
, (2.1.14)
. (2.1.15)
○ Приклад 2.1.9. Дослідити на збіжність інтеграли: а) ; б) .
Розв'язання.
а) .
Інтеграл збігається;
б)
.
Оскільки границя не існує, то інтеграл розбігається. ●
Література: [1, с. 173 – 195, 198-203], [2, с. 251 ‑ 312], [4, с. 284 – 341], [5].