Контрольные вопросы

1. Дайте классическое определение вероятности.

2. Сформулируйте свойства вероятности.

3. Что такое комбинаторика, соединения, комбинаторное правило умножения?

4. Дайте определение размещениям, приведите пример.

5. Дайте определение перестановкам, приведите пример.

6. Дайте определение сочетаниям, приведите пример.

7. В чем состоит урновая схема.

8. Дайте геометрическое определение вероятности.

9. Дайте статистическое определение вероятности. Перечислите свойства относительной частоты.

10. Сформулируйте аксиоматическое определение вероятности.

11. Перечислите свойства вероятности.

12. Напишите формулу сложения вероятностей.

13. Условная вероятность, ее вычисление.

14. Напишите формулу умножения вероятностей.

15. Какие события называются независимыми? Как записать условия их независимости?

16. Напишите формулу полной вероятности и формулу Байеса.

17. В чем состоит схема Бернулли?

18. Сформулируйте теорему Пуассона.

19. Напишите обе формулы Муавра – Лапласа.

Задачи.

1. Случайным образом выбирают одну из костей домино. Описать пространство элементарных исходов Ω. Из каких элементарных исходов состоят следующие события: A={на выбранной кости очки совпадают}; В={сумма очков на кости равна 6}; ={произведение числа очков на кости нечетно}; В\А, АВ, АС, АВ\С, (АUВ)С.

2. По мишени производят 3 выстрела. Пусть событие – попадание при i – м выстреле. Представить в виде объединения и пересечения событий и следующие события: 1) {3 попадания в мишень}; 2){3 промаха}; 3) {хотя бы одно попадание}; 4) {хотя бы один промах}; 5) {не менее двух попаданий}; 6) {не более одного попадания}; 7) {попадание в мишень не ранее чем при 3-м выстреле}.

3. Пусть A, В,C – события. Выясните смысл равенств АВС=А.

4. На отрезке [0,1] наудачу ставятся две точки. Построить подходящее пространство элементарных исходов Ω для описания событий: A={вторая точка ближе к левому концу отрезка, чем первая}, B={расстояние между точками не превосходит половины длины отрезка} и описать эти события.

5. Пусть – произвольные события. Выразить в виде результата арифметических действий над этими тремя событиями и их дополнениями следующие события: 1) произошли все три события; 2) произошло хотя бы одно событие; 3) произошло только ; 4) произошло хотя бы два события; 5) события и произошли, но событие не произошло; 6) произошло одно и только одно событие; 7) произошло ровно два события; 8) ни одно событие не произошло; 9) произошло не более двух событий.

6. Монета подбрасывается три раза. Является ли сигма – алгеброй следующая система подмножеств: F={Ø, Ω, {ГГГ, ГРГ, РГР, РРР}, {РГГ, РРГ, РГР, РРР}}?

7. Преподаватель проводит занятия с тремя студентами. Событие A={первый студент потребует внимания преподавателя в течение часа}, событие B={второй студент потребует внимания преподавателя в течение часа}, событие C={третий студент потребует внимания преподавателя в течение часа}. Что означают события: 1) ABC; 2) A+B+C; 3) ; 4)

; 5) ; 6) A+B+C– ABC?

8. Пусть . Упростите выражения АВ, AUB, АВС,AUBUC.

9. Фирма по продаже автомобилей рекламирует две новые модели машин по радио и телевидению. Компанию интересует эффективность рекламы, в частности, оценка того, что случайно выбранный человек имеет представление хотя бы об одной из двух рекламируемых моделей. Определим событие A как событие, состоящее в том, что случайно выбранный человек слышал рекламу по радио, а событие B – как событие, состоящее в том, что случайно выбранный человек знает о новых моделях автомобилей из рекламы телевидения. Определить в этом контексте A + B, AB, , .

10. Брокерская фирма имеет дело с акциями и облигациями. Для анализа деятельности фирме полезно оценить вероятность того, что лицо, интересующее фирму, является держателем акций (событие A) или облигаций (событие B). Определите в этом контексте A + B, AB, B\ A, .

11. Директор корпорации рассматривает 10 заявлений о приёме на работу на 4 вакантных места. Сколькими способами директор может заполнить эти вакансии?

12. Собрание, на котором присутствует 20 человек, избирает двух делегатов на две конференции. Каким числом способов это можно сделать? Сколькими способами можно отобрать двух кандидатов на одну конференцию?

13. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

14. Восемь различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

15. В зрительном зале кинотеатра 500 мест. Какова вероятность, что при произвольном размещении в зале 490 зрителей пустыми останутся 10 первых мест второго ряда?

16. n студентов произвольным образом расходятся по k аудиториям. Какова вероятность, что в первой аудитории окажутся студентов, во второй – студентов,…, в к-й аудитории– студентов?

17. В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продано семь билетов. Найти вероятность того, что занятыми оказались только два купе.

18. n различных шаров произвольным образом раскладываются по n ящикам. Какова вероятность, что при этом ровно один ящик окажется пустым?

19. Двое играют в игру, поочередно бросая монету. Выигравшим считается тот, кто первым получит герб. Найти вероятность того, что игра закончится на k-м бросании. Какова вероятность выигрыша для игрока, начавшего игру?

20. 10 любителей подледного лова рыбы произвольным образом независимо друг от друга размещаются на льду озера, имеющего форму круга радиуса 1 м. Какова вероятность того, что не менее 5 рыбаков расположатся на расстоянии более 200 м от берега?

21. В шар радиуса R наудачу бросаются n точек. Найти вероятность того, что расстояние от центра до ближайшей точки не меньше

22. Группа из 8 человек садится за круглый стол. Какова вероятность, что два определенных лица окажутся рядом?

23. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего произведено 120 выстрелов.

24. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной.

25. В студии телевидения имеются 3 телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0.6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

26. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей: когда он берет билет первым или последним?

27. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании 0.2.

28. Вероятность того, что деталь не стандартна р = 0.1. Найти, сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.9544, можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей среди отобранных отклонится от постоянной вероятности р по абсолютной величине не более чем на 0.03.

29. Из ящика, содержащего 3 билета с номерами 1,2,3, вынимают по одному все билеты. Найти вероятность того, что хотя бы у одного билета порядковый номер в выборке совпадет с собственным.

30. Колода из 36 карт хорошо перемешана. Найти вероятность событий: А – четыре туза расположены рядом; событие В – места расположения тузов образуют арифметическую прогрессию с шагом 7.

31. На полке в случайном порядке расположено 40 книг, среди которых находится трехтомник А.С. Пушкина. Найти вероятность того, что все тома стоят в порядке возрастания (не обязательно рядом).

32. Опыт состоит в 4-кратном выборе с возвращением одной буквы из следующих букв: А, Б, К, О, М и записи ее. Какова вероятность, что получится слово «МАМА»?

33. В урне 4 шара различного цвета. Извлекается шар и возвращается обратно, цвет шара при этом запоминается. Найти вероятность, что среди 8 выбранных шаров будут шары только одного цвета – событие A; будут по два шара разного цвета – событие В.

34. Из цифр 1, 2, 3 случайным образом составляется 6-значное число. Найти вероятность того, что цифра 1 встретится в числе 1 раз, цифра 2 – 2 раза, цифра 3 – 3 раза?

35. В лифт 7-этажного дома вошли 3 человека. Каждый может выйти на любом этаже, начиная со второго, с одинаковой вероятностью. Найти вероятности событий: A– все выйдут на 4 этаже, B – все выйдут на одном и том же этаже, C – все выйдут на разных этажах.

36. Брак в продукции завода вследствие дефекта A составляет 4%, а вследствие дефекта B – 3,5%. Годная продукция завода составляет 95%. Найти вероятность того, что а) среди продукции, не обладающей дефектом A, встретится дефект B; б) среди забракованной по признаку A продукции встретится дефект B.

37. В магазине продаются 10 телевизоров, 3 из них имеют скрытые дефекты. Какова вероятность того, что посетитель купит телевизор, если для выбора телевизора без дефекта понадобится не более трёх попыток?

38. В записанном телефонном номере 135-3.-.. три последние цифры стерлись. Найти вероятность событий: А – стерлись различные цифры, отличные от 1,3,5; В – стерлись одинаковые цифры; С – две из стершихся цифр совпадают.

39. Из карточек разрезной азбуки составлено слово СТАТИСТИКА. Затем из этих 10 карточек отобрано 5 карточек. Какова вероятность, что получится слово ТАКСИ?

40. Пусть ₁, ₂, ₃, ₄ – числа, выпавшие при одновременном бросании 4 игральных костей. Найти

41. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди выбирают по одному билету. Найти вероятности событий: а) первый студент взял «хороший» билет; б) второй студент взял «хороший» билет; в) оба студента взяли «хорошие» билеты.

42. Упрощенная схема контроля изделий состоит из двух независимых проверок. В результате к-й проверки, к=1,2, изделие, удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью , а бракованное изделие принимается с вероятностью α . Изделие принимается, если оно прошло обе проверки. Найти вероятности событий: а) бракованное изделие будет принято; б) изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано.

43. Имеется 10 пар ботинок, случайным образом выбираются 4 ботинка. Какова вероятность, что среди них не будет парных?

44. В группе n человек (n ≤ 365). Какова вероятность, что хотя бы у двух человек совпадают дни рождения?

45. Какова вероятность, что дни рождения 12 случайным образом выбранных студентов приходятся на разные месяцы года?

46. 10 студентов договорились поехать на лыжную базу на одной и той же электричке, но не договорились, в каком вагоне. Каковы вероятности событий: а) все они окажутся в разных вагонах, если любой из студентов может сесть наугад в любой из 10 вагонов; б) все они разместятся в трех вагонах; в) 5 студентов окажутся в головном вагоне, остальные 5 – в хвостовом.

47. На отрезок ОА длины l наудачу поставлена точка В. Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, меньшую l/3.

48. Случайная точка A равномерно распределена на отрезке [0,1] и делит этот отрезок на 2 части. Пусть ₁ – длина большей части, ₂ – длина меньшей части. Найти Р{₁ < x}, Р{₂ < x} при любых x.

49. Случайная точка A имеет равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найти вероятности событий: а) расстояние от точки А до ближайшей стороны не превосходит х; б) расстояние от точки А до любой стороны не превосходит х.

50. (Парадокс Бертрана). В круге радиусом R случайно проводится хорда длиной . Найти вероятность Р{>x}, если середина хорды равномерно распределена в круге. Вычислить эти вероятности при х, равном: а) стороне правильного вписанного шестиугольника; б) стороне правильного вписанного треугольника.

51. В интервале времени [0,Т] в случайный момент u появляется сигнал длительности ∆. Приемник включается в случайный момент времени v[0,Т] на время t. Предположив, что точка (u,v) распределена равномерно в квадрате [0,Т] [0,Т], найти вероятность обнаружения сигнала.

52. По цели проводится n независимых выстрелов. Вероятность попадания при i-м выстреле равна, i=1, …, n. Какова вероятность, что при n выстрелах будет не менее двух попаданий.

53.Что вероятнее: выиграть у равносильного противника 3 партии из 4-х или 5 партий из 8?

54. Двое по очереди бросают монету. Выигрывает тот, кто первым получил герб. Найти вероятности событий: а) игра закончится до четвертого бросания; б) выиграет первый игрок; в) выиграет второй игрок.

55. Из урны, содержащей N₁ белых шаров, N₂ черных и N₃ красных последовательно без возвращения извлекают шары до тех пор, пока не появится красный шар. Найти вероятности событий: а) вынуто n₁ белых, n₂ черных шаров; б) не появилось ни одного белого шара; в) всего вынуто к шаров.

56. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из урны извлекаются все шары. Какова вероятность, что вторым по порядку будет извлечен белый шар?

57. Вероятность, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна 0.9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все три выстрела дали попадание.

58. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0.1. Какова вероятность того, что сообщение из 10 знаков а) не будет искажено; б) содержит ровно три искажения; в) содержит не более трех искажений.

59. Найти вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха в отдельном испытании p, k-й по порядку успех произойдет на m-м шаге.

60. На отрезок [0,10] наудачу брошено 5 точек. Найти вероятность того, что 2 точки попадут в отрезок [0,2], одна – в [2,3] и две – в [3,10].

61. Из множества чисел 1,2,...,N случайно выбираются три числа. Найти вероятность того, что третье число попадет в интервал, образованный первыми двумя числами, если известно, что первое число меньше второго.

62. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы 4, из второй — 6, из третьей — 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0.9, 0.7 и 0.8. Наудачу выбранный студент попал в сборную института. Какой группе вероятнее всего принадлежит студент?

63. Из 28 костей домино случайно выбирают две. Найти вероятность того, что из них можно составить «цепочку» согласно правилам игры.

64. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наудачу извлекают 2 шара и добавляют в урну белый шар. Найти вероятность того, что после этого наудачу выбранный из урны шар будет белым.

65. В пункте проката имеется 10 телевизоров, для которых вероятность исправной работы в течение месяца равна 0.9, и 5 телевизоров с вероятностью безотказной работы в течение месяца, равной 0.95. Найти вероятность того, что два телевизора, взятые наудачу в пункте проката, будут работать исправно в течение месяца.

66. Изделия поступают на проверку, описанную в задаче 42. Предполагая, что каждое изделие удовлетворяет стандарту с вероятностью р, найти вероятность того что, а) поступившее на проверку изделие не будет отбраковано; б) неотбракованное изделие удовлетворяет стандарту.

67. В первой урне находятся 1 белый и 2 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных шаров. Из каждой урны случайным образом отбираются по 2 шара и кладутся в 3-ю урну. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из 3-й урны, будет белым? Найти вероятность того, что при выборе с возвращением из 3-й урны двух шаров один из них белый, другой – черный. Найти вероятность предыдущего события, но только при схеме выбора без возвращения.

68. Отрезок [0,а] случайной точкой делится на две части, из которых случайно выбирается одна часть. Обозначим длину выбранной части за сл. величину . Найти P{<x}, o≤x≤a, предполагая, что координата  случайной точки равномерно распределена на отрезке [0,а] и вероятность выбора любой из полученных частей отрезка одинакова.

69. Случайная точка (₁,₂) имеет равномерное распределение в квадрате [0,1][0,1]. При каких значениях r независимы события Ar={|₁-₂|≥r} и Br={₁+₂≤3r}.

70. События A и В независимы. Являются ли независимыми события A и ? и В?

71. Случайная точка =(₁,₂) имеет равномерное распределение в квадрате [0,1][0,1]. Пусть Показать, что события А₁,А₂, А₃ попарно независимы, но все три события зависимы.

72. Следует ли из несовместности событий их независимость? Из независимости – несовместность?

73. Пусть событие A не зависит от самого себя. Доказать, что тогда P(A) равно 0 или 1.

74. Иностранная фирма, производящая автомобили, интересуется российским рынком. Для изучения вкуса потенциальных покупателей проводится опрос, в котором выясняются наиболее желательные характеристики автомобиля. Предположим, что результаты опроса показали: 35% потенциальных покупателей в основном оценивают автомобиль по его техническим характеристикам, 50% - по его дизайну, 25% - считают одинаково важным и то, и другое. Основываясь на этой информации, ответьте, являются ли два вида предпочтений потенциальных покупателей независимыми друг от друга? Объясните.

75. Вероятность того, что завтра цены на потребительские товары вырастут, равна 0,3; вероятность того, что завтра поднимется цена на серебро, равна 0,2, а вероятность одновременного роста цен на потребительские товары и серебро составляет 0,06. Являются ли цены на потребительские товары и серебро независимыми друг от друга? Поясните ответ.

76. О двух акциях A и B известно, что они выпущены одной и той же отраслью. Вероятность того, что акция A поднимется в цене завтра, равна 0,2. Вероятность того, что обе акции A и B поднимутся завтра в цене, равна 0,12. Предположим, что Вы знаете, что акция A поднимется завтра в цене. Чему равна вероятность того, что и акция B поднимется завтра в цене?

77. Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретёт только компьютер, равна 0,15. Вероятность, что покупатель купит только пакет программ, равна 0,1. Вероятность того, что будут куплены и компьютер, и пакет программ, равна 0,05. Чему равна вероятность того, что будут куплены или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе?

78. В большом универмаге установлен скрытый «электронный глаз» для подсчёта числа входящих покупателей. Когда два покупателя входят в магазин вместе и один идёт перед другим, то первый из них будет учтён электронным устройством с вероятностью 0,98, второй – с вероятностью 0,94, а оба – с вероятностью 0,93. Чему равна вероятность того, что устройство отметит по крайней мере одного из двух входящих вместе покупателей.

79. В ходе исследования потребительского рынка проводили опрос потребителей. В частности, один из вопросов касался сорта зубной пасты, которую использует потребитель. Если известно, что 14% населения использует сорт A, а 9% - сорт B, то чему равна вероятность того, что случайно выбранный человек будет использовать одну из двух паст. (Предполагается, что в данный момент человек использует только одну пасту).

80. По каналу связи может быть передана одна из трех последовательностей букв: AAAA, BBBB и CCCC, причем делается это с вероятностями 0.3, 0.4 и 0.3 соответственно. Известно, что действие шумов на приемное устройство учменьшает вероятность правильного приема каждой из переданных букв до 0.6, а вероятность приема каждой переданной буквы за две другие равны 0.2 и 0.2. Предполагается, что сигналы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что была передана последовательность AAAA, если на приемном устройстве получено ABCA.

81. Для лица, дожившего до двадцатилетнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0.006. Застрахована группа 10000 лиц двадцатилетнего возраста, причем каждый застрахованный внес 1200 рублей страховых взносов за год. В случае смерти застрахованного по естественным причинам родственникам выплачивается 100000 рублей. Какова вероятность того, что а) к концу года страховое учреждение окажется в убытке? б) его доход превысит 6000000 рублей? Какой минимальный страховой взнос следует учредить, чтобы с вероятностью 0.95 доход был не менее 4000000 рублей?

82. Известно, что вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0.02. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Какова вероятность того. что в коробке не окажется бракованных сверл? Какое наименьшее количество сверл нужно укладывать в коробку для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.9, в коробке было не менее 100 исправных?

83. Вероятность выхода из строя за время T одного конденсатора равна 0.2. Определить вероятность того, что из 100 конденсаторов за время T выйдут из строя а) не менее 20 конденсаторов; б) менее 28 конденсаторов.

84. Из отрезка [0,1] наугад выбирается число. Какова вероятность, что в десятичной записи этого числа вторая цифра после запятой будет двойка?

25