3. Обчислення визначників.

Для матриці третього порядку Визначник обчислюється за формулою:

Приклад 4

Обчислити визначник 3-го порядку способом розкладання за елементами рядка.

Для визначника третього порядку мають місце ті ж властивості.

Користаючись цими властивостями, а саме властивістю 5, визначник можна привести до трикутного вигляду, тобто до вигляду, коли елементи, що знаходяться під головною діагоналлю, будуть рівні 0.

Приклад 5

Привести визначник до трикутного вигляду й обчислити його.

=

= – =

= –12(1(-3)1–0)=36

Означення 9

Мінором для елемента с_ij називається визначник, одержаний з матриці, якщо в ній викреслити елемент разом з i-тим рядком і j-тим стовпцем.

Алгебраїчним доповненням до елемента називається число, отримане при множенні мінору на число (–1)^i+j, де i – номер рядка, j – номер стовпця.

Позначимо А_ij = (–1)^i+j M_ij , тоді визначник третього порядку запишеться так:

4. Ранг матриці. Мінори та алгебраїчні доповнення Елементарні перетворення матриць. Обернена матриця.

Означення 10

Мінором r-го порядку матриці А розмірів m x n називається визначник r-го порядку, утворений з елементів матриці А, що залишились після викреслення в ній m-r рядків і n-r стовпців (r m, r n).

Означення 11

Натуральне число r називається рангом матриці А, якщо воно задовольняє такі вимоги:

1. Матриця А має мінор r-го порядку, відмінний від нуля;

2. Усякий мінор (r+1)-го і більш високого порядку (якщо такі існують) дорівнює нулю.

Означення 12

Елементарними перетвореннями матриці називають такі операції:

1. Перестановка (транспозиція) двох рядків або стовпців;

2. Додавання до всіх елементів рядка (стовпця) відповідних елементів другого рядка (стовпця), помножених на деяке число.

Матриці, здобуті одна з іншої за допомогою скінченого числа елементарних перетворень, називаються еквівалентними.

Теорема 1

Ранги еквівалентних матриць рівні.

Означення 13

Матриця розмірів m х n, рангу r 1 називається трапецієподібною, якщо існує таке натуральне число l (l ), що

1. Елементи а₁₁, а₂₂, ... а_ll не дорівнюють нулю;

2. Якщо l<m, то елементи стовпців, що стоять під елементами а₁₁, а₂₂ , а_33, ... а_ln , дорівнюють нулю; якщо l=m, то дорівнюють нулю елементи стовпців, що стоять під елементами а₁₁, а₂₂ , ... а_l-1l-1. Трапецієподібна матриця має вигляд

Теорема 2

Ранг трапецієподібної матриці дорівнює кількості ненульових рядків.

Обчислення рангу матриці способом знаходження елементарними перетвореннями еквівалентної даній трапецієподібної матриці.

Приклад 6

Обчислити ранг матриці А= .

Виконаємо такі елементарні перетворення матриці А. Переставимо місцями 1-й і 3-й стовпці матриці А, отримаємо:

.

Додамо до елементів 2-го рядка елементи 1-го, а до третього елементи 1-го рядка , помножені на число – 5, тоді матимемо:

.

Додаючи до елементів 3-го рядка елементи другого, помножені на 3, дістанемо:

.

Здобули трапецієподібну матрицю, для якої . Отже, r(A) = 2.