- •Інститут економіки та нових технологій Кафедра прикладної математики та математичного моделювання
- •Наклад 26 примірників Передмова
- •І. Основні питання, що вивчаються в розділі „Елементи лінійної алгебри”.
- •1. Матриці. Лінійні операції над матрицями. Добуток матриць.
- •3. Обчислення визначників.
- •Теорема 2
- •Приклад 6
- •Означення 14
- •Теорема 3
- •Приклад 7
- •5. Системи алгебраїчних лінійних рівнянь. Матричний спосіб розв’язання систем.
- •Приклад 11
- •Приклад 11
- •9. Метод Гаусса-Жордана розв’язання систем лінійних рівнянь.
- •Приклад 12
- •10. Застосування систем алгебраїчних лінійних рівнянь до аналізу моделі Леонтьєва багатогалузевої економіки.
- •III. Завдання для самостійної роботи.
- •IV. Завдання для контрольної роботи. Завдання 1
- •Завдання 2
- •V. Список використаної і рекомендованої літератури.
Приклад 11
Розв’язати систему рівнянь:
1. Обчислюємо визначник системи:
= =1(4+10)–2(8+8)+3(10–4)=14–32+18=0.
Матриця системи особлива, тому розв’язати за формулами Крамера не можна. Використаємо метод Гаусса.
Запишемо розширену матрицю системи і виконаємо елементарні перетворення:
.
Як бачимо, ранг розширеної матриці дорівнює рангу основної матриці (r=2), тому за теоремою Кронекера-Капеллі система сумісна, але має нескінченне число розв’язків.
Виберемо базисний мінор M= = –3 0. Базисні невідомі: х1, х2. Вільні невідомі: х3.
Дана система рівносильна такій:
Позначимо вільну невідому х3= с(с R), тоді розв’язок запишеться так:
Частинний розв’язок одержимо, якщо с = 1
Приклад 11
Розв’язати систему рівнянь:
1. Запишемо розширену матрицю і виконаємо елементарні перетворення Гаусса.
Як бачимо, ранг матриці дорівнює рангу розширеної матриці r(A)=r( )=2, тому за теоремою Кронекера-Капеллі система сумісна.
2. Виберемо базисний мінор М= . Базисні невідомі: х1,х2 , вільні невідомі: х3, х4, х5.
3. Знайдемо базисні невідомі:
Нехай х3=с1, х4=с2, х5=с3 (с1,с2, с3 – дійсні числа). Розв’язок системи:
9. Метод Гаусса-Жордана розв’язання систем лінійних рівнянь.
Нехай задано систему m лінійних рівнянь з n невідомими
Нехай у системі аij 0. Називатимемо його розв’язувальним елементом.
1. Усі елементи розв’язувального рядка ділимо на розв’язувальний елемент аij і результат записуємо в i-ий рядок нової матриці.
2. Усі елементи розв’язувального стовпця, крім аij , замінюємо нулями.
3. Решту елементів матриці обчислити за формулами:
Елементи зручно обчислювати за правилом прямокутника. Розглянемо прямокутник, одна з вершин якого лежить в елементі, на місці якого обчислюється новий, а протилежна – в розв’язувальному елементі; дві інші вершини лежать відповідно: одна в розв’язувальному рядку, а друга – в розв’язувальному стовпці.
Елемент дорівнює добутку розв’язувального елемента на протилежний йому мінус добуток двох інших елементів і весь цей вираз ділиться на розв’язувальний елемент .
Зауваження:
Як розв’язувальний елемент зручно брати елемент, що дорівнює 1.
Якщо аir =0, то r-й стовпець у нову матрицю записують без змін.
Якщо аkj = 0, то k-й рядок матриці записується без змін у k-й рядок нової матриці.
Приклад 12
Розв’язати систему методом Гаусса-Жордана
Перетворення системи по методу Гаусса-Жордана запишемо в таблицях, виділивши на кожному кроці розв’язувальний елемент.
З останньої таблиці записуємо розв’язок системи:
10. Застосування систем алгебраїчних лінійних рівнянь до аналізу моделі Леонтьєва багатогалузевої економіки.
Розглядається n галузей промисловості, кожна з яких виробляє свою продукцію, частина якої використовується для внутрішніх потреб, а частина для суспільних потреб ( поза матеріальним виробництвом). Процес виробництва розглядається протягом деякого часу (наприклад, року).
Позначимо:
хi – валовий об’єм продукції i-ої галузі ;
хij – об’єм продукції i-ої галузі, що використовується в j-ій галузі в процесі виробництва ;
yi – об’єм кінцевого продукту i-ої галузі для невиробничого споживання;
Співвідношення балансу – це рівняння
Коефіцієнти прямих затрат аij = показують затрати продукції i-ої галузі на виробництво одиниці продукції j-ої галузі. Вважають, що коефіцієнти – сталі числа на деякому проміжку часу. Це означає лінійну залежність матеріальних затрат від валового випуску, тобто, . Співвідношення балансу мають такий вигляд:
Це рівняння можна записати в матричному вигляді:
Х= АХ + Y (*), де А= , Х= , Y=
Основна задача міжгалузевого балансу полягає в тому, щоб знайти вектор валового виробництва Х, який при відомій матриці прямих затрат А забезпечує заданий вектор кінцевого продукту Y.
Рівняння (*) можна розв’язати: Х= (Е–А)-1 Y , матриця S= (E–
–A)-1 називається матрицею повних затрат. Матриця А називається продуктивною, якщо для будь-якого вектора Y існує розв’язок Х рівняння (*). У цьому випадку модель Леонтьєва називається продуктивною.