- •Інститут економіки та нових технологій Кафедра прикладної математики та математичного моделювання
- •Наклад 200 примірників Передмова
- •І. Основні питання, що вивчаються в розділі „Диференціальні рівняння”.
- •Іі. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач
- •1. Основні поняття. Задача Коші
- •2. Диференціальні рівняння 1-го порядку та способи їх розв’язання
- •Теорема 1 (Коші)
- •2.1. Диференціальні рівняння із змінними, які розділяються
- •Приклад 1
- •Розв’язання
- •Приклад 2
- •Розв’язання
- •2.2. Однорідні диференціальні рівняння.
- •Приклад 3
- •Розв’язання
- •Приклад 4
- •Розв’язання
- •2.3. Лінійні диференціальні рівняння.
- •3.1. Рівняння вигляду
- •3.2. Рівняння вигляду
- •3.3. Рівняння вигляду
- •Приклад 9
- •Розв’язання
- •Приклад 10
- •Розв’язання
- •4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •4.1. Однорідні лінійні диференціальні рівняння
- •4.2. Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами та спеціальною правою частиною
- •Приклад 14
- •Розв’язання
- •Приклад 15
- •Розв’язання
- •Приклад 16
- •Розв’язання
- •5. Системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами
- •Приклад 17
- •Розв’язання
- •Ііі. Завдання для самостійної роботи
- •Іv. Завдання для контрольної роботи Завдання 1
- •Завдання 2
- •Завдання 3
- •Завдання 4
- •Завдання 5
- •Завдання 6
- •Завдання7
- •V. Список використаної і рекомендованої літератури
- •Завдання 1
- •Завдання 2
- •Завдання 3
Приклад 4
Розв’язати рівняння: .
Розв’язання
Приведемо це рівняння до вигляду (2.2):
.
Замінимо: , , .
Отримаємо рівняння : ; ; ;
; ; .
Проінтегруємо: .
Маємо: . (Якщо при розв’язуванні отримано логарифми, зручно подати довільну сталу інтегрування С у вигляді логарифма ).
Звідки: , .
Повертаємось до вихідних змінних: , тоді:
; ; ; .
Відповідь: .
Зауваження: Приклад 4 – зразок розв’язання завдання № 2.
2.3. Лінійні диференціальні рівняння.
Означення 5. Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння, що має вигляд: (2.4)
де – функції, які залежать тільки від змінної х.
Метод розв’язання: робимо заміну невідомої функції: – деякі невідомі функції. Тоді .
Після заміни в рівнянні (2.4) маємо:
Далі виконуємо штучний крок: вважаємо невідому функцію v такою, що вираз у дужках (який завжди є множником до u та містить v и v/) має дорівнювати нулю:
. (2.5)
Враховуючи це, маємо, що для функції u виконується рівність:
. (2.6)
З рівностей (2.5) і (2.6) знаходимо функції .
Приклад 5
Розв’язати рівняння: .
Розв’язання
Виконавши заміну: , маємо:
.
1. , ,
,
.
На цьому етапі довільну сталу С замінимо зручним значенням С=1 ( в інших випадках С=0 ). Отже, v = x.
2.
.
а) ;
б) – інтегруємо за частинами, використовуючи формулу:
.
Таким чином,
3. Шукана функція:
Відповідь:
Зауваження: приклад 5 – зразок розв’язання завдання №3.
3. Диференціальні рівняння другого порядку
3.1. Рівняння вигляду
Якщо з рівняння можна виділити як функцію, залежну тільки від х, тобто , то розв’язок у=у(х) знаходимо, інтегруючи ліву та праву частини рівняння двічі.
Приклад 7
Розв’язати рівняння: .
Розв’язання
Запишемо рівняння у вигляді: .
Знайдемо інтеграл:
.
Відповідь: .
3.2. Рівняння вигляду
Якщо рівняння містить та не містить в явному вигляді у, то метод розв’язування полягає в заміні:
Після такої заміни рівняння стає рівнянням 1-го порядку, розв’язання яких розглядались у п.2.2.-2.3.
Приклад 8
Розв’язати рівняння: .
Розв’язання
Замінимо: .
Отримане рівняння є рівнянням із змінними, що розділяються (п.1.1.):
, звідки .
Зворотна заміна: , тобто
,
звідки – шукана функція.
3.3. Рівняння вигляду
Якщо рівняння містить , та не містить в явному вигляді незалежну змінну х, то метод розв’язання полягає в наступному: нехай , тоді
(оскільки ) (3.1.)
При цьому отримуємо диференціальне рівняння 1-го порядку, де невідомою функцією є р(у), а незалежною змінною – у.
Приклад 9
Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: .
Розв’язання
Згідно з (3.1) , то рівняння матиме вигляд: .
При розв’язанні маємо:
.
1. – знайшли частинний розв’язок рівняння.
2. – це рівняння із змінними, що розділяються, яке дасть нам загальний розв’язок диференціального рівняння:
Оскільки , то – також із змінними, що розділяються, тобто , звідки . Підносимо обидві частини рівняння до степеня , отримуємо розв’язок в явному вигляді або , де , .