Приклад 15
Знайти
загальний розв’язок диференціального
рівняння:
.
Розв’язання
1. Запишемо однорідне рівняння, яке відповідає даному диференціальному рівнянню та знайдемо його загальний розв’язок:
,
f(x)=
,
тобто
Частинний розв’язок, згідно з таблицею (3.5), шукаємо у вигляді:
.
2. Аналогічно з прикладом 14 задача зводиться до визначення коефіцієнтів M і N, для чого знаходимо першу та другу похідні , та підставляємо в дане рівняння:
Після підставлення у дане рівняння порівнюємо коефіцієнти при cos2x та sin2x.
При cos2x: 6M+10N–4M = 12 2M+10N =12 ;
При sin2x: 6N–10M–4M = 0 2N-10M=0,
звідки: N = 5M,
2M+50M
= 12 ;
.
Тоді
.
3. Загальний розв’язок:
у=
+
.
Приклад 16
Знайти
загальний розв’язок диференціального
рівняння:
.
Розв’язання
1. Запишемо
однорідне рівняння, яке відповідає
даному диференціальному рівнянню, та
знайдемо його загальний розв’язок:
,
.
2.
,
де А=3.
Один із
коренів співпадає з
,
тому частинний розв’язок, згідно з
таблицею (3.5), шукаємо у вигляді:
.
Аналогічно з попередніми прикладами задача зводиться до визначення коефіцієнта А. Знаходимо першу, другу похідні , та підставляємо в дане рівняння:
.
Прирівнюючи
коефіцієнти при однаковому множнику
правої та лівої частин, знаходимо А:
,
частинний
розв’язок:
.
3.
Загальний розв’язок
.
5. Системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами
Система лінійних диференціальних рівнянь містить декілька невідомих функцій та їх похідні:
,
де
- невідомі функції.
Метод розв’язання за допомогою виключення змінних зводить систему до одного диференціального рівняння від однієї невідомої функції порядку n, яке розв’язується одним з вище показаних способів. Інші невідомі функції визначають при підстановці знайденої функції в рівняння системи (як при розв’язанні систем алгебраїчних рівнянь). Ознайомимось з цим методом розв’язання на прикладі системи 2-х диференціальних рівнянь.
Приклад 17
Розв’язати
систему рівнянь:
Розв’язання
1. Знаходимо похідні лівої та правої частин першого рівняння:
.
2. З
другого рівняння підставимо
:
(5.1)
3. Виразимо
у
з першого рівняння та підставимо в
(5.1), після чого отримуємо лінійне
диференціальне рівняння 2-го порядку
відносно однієї невідомої функції х:
(5.2)
,
4.
Отриманий розв’язок запишемо у вигляді
та розв’яжемо за допомогою характеристичного
рівняння:
.
5. Знайдемо у, використовуючи формулу (5.2):
,
,
у=
-
-
Після спрощення маємо:
.
Відповідь:
,
.
Ііі. Завдання для самостійної роботи
Розв’язати рівняння:
Іv. Завдання для контрольної роботи Завдання 1
Розв’язати диференціальні рівняння 1 порядку зі змінними, що розділяються.
