Лабораторная работа №1

Системы счисления. Формы представления информации на эвм.

Цель работы:

1. Изучить позиционные и непозиционные системы счисления, а также формы представления информации на ЭВМ.

2. Получить навыки определения количества информации в конкретном сообщении; преобразования чисел из одной системы счисления в другую, а также выполнения основных математических операций с числами в различных системах счисления.

Задание:

1. Подробно изучить методические указания.

2. Выполнить задания, согласно полученному варианту.

Методические указания системы счисления

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (слова или знаки), называемые базисными числами, а все остальные числа получаются в результате каких-либо операций из базисных чисел данной системы исчисления. Символы, используемые для записи чисел, могут быть любыми, только они должны быть разными и значение каждого из них должно быть известно. В современном мире наиболее распространенным является представление чисел посредством арабских цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – специальных знаков, используемых для записи чисел. Системы счисления различаются выбором базисных чисел и правилами образования из них остальных чисел. Например, в римской системе счисления базисными являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, которые обозначаются знаками I, V, X, L, С, D, М, а другие получаются путем сложения и вычитания базисных.

Позиционные и непозиционные системы счисления

Для изображения (или представления) чисел в настоящее время используются в основном позиционные системы счисления. Привычной для всех является десятичная система счисления. В этой системе для записи любых чисел используется только десять разных знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры введены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а следующее число 10 и т.д. обозначается уже без использования новых цифр. Однако введением этого обозначения сделан важный шаг в построении системы счисления: значение каждой цифры поставлено в зависимость от того места (позиции), где она стоит в изображении числа.

Таким образом, система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Первая известная система, основанная на позиционном принципе – шестидесятeричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим – десятки. Следы вавилонской системы сохранились до наших дней в способах измерения и записи величин углов и промежутков времени.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

II	VV	XX	LL	CC	DD	MM
11	55	110	550	1100	5500	11000

Например, VI = 5 + 1 = 6, а IX = 10 – 1 = 9.

В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Большая цифра соответствует большему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 < 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Далее будут рассматриваться только позиционные системы счисления.

Число К единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления, а сама система счисления называется К-ичной. Например, основанием десятичной системы счисления является число 10; двоичной – число 2; восьмеричной – число 8 и т.д.

Запись произвольного числа X в К-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде полинома (аналитическая функция - степенной многочлен):

(1)

где каждый коэффициент а, может быть одним из базисных чисел и изображается одной цифрой.

Например, число 10 –ной системы счисления 173,65, представленное в виде полинома (1), будет иметь вид

.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими полиномами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые имеют место при данном основании К системы счисления.

Для указания того, в какой системе счисления записано число, основание системы счисления изображается в виде нижнего индекса при нем, например, 173,65₁₀.

Двоичная система счисления

В ЭВМ используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими:

• для ее реализации используются технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – ненамагничен);

• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

• двоичная арифметика проще десятичной (двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты).

Двоичная система счисления это система счисления с наименьшим возможным основанием. В ней для изображения числа используются только две цифры: 0 и 1, называемые двоичными (binary digits). Сокращение этого наименования привело к появлению термина бит (bit), ставшего названием разряда двоичного числа. Если какой-либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом. Запись числа в двоичном виде намного длиннее записи в десятичной системе счисления.

Произвольное число X в двоичной системе представляется в виде полинома (1):

,

где каждый коэффициент а, может быть либо 0, либо 1.

Примеры изображения чисел в двоичной системе счисления:

1 = 1₂ - 1  2⁰ = 1

5 = 101₂ - 1  2² + 0  2¹ +1  2⁰ = 4 + 0 + 1 = 5

9 = 1001₂ - 1  2³ + 0  2² + 0  2¹ + 1  2⁰ = 8 + 0 + 0 +1 = 9

2 = 10₂ 6 = 110₂ 10 = 1010₂

3 = 11₂ 7 = 111₂ 0.5 = 0.1₂

4 = 100₂ 8 = 1000₂ 0.25 = 0.01₂

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются тем же правилам, что и в десятичной системе. Только в двоичной системе перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в десятичной. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:

0 + 0 = 0	0 + 1 = 1
1 + 0 = 1	1 + 1 = 0 (перенос 1 в старший разряд)

Таблица умножения для двоичных чисел:

0 * 0 = 0

0 * 1 = 0

1 * 0 = 0

1 * 1 = 1

Рассмотрим на примерах основные арифметические действия с двоичными числами.

Пример 1.

1.1. Найти сумму чисел 100101₂ и 1010₂.

Решение. Согласно таблице сложения двоичных чисел: .

1.2. Найти сумму чисел 1001₂ и 1011₂.

Решение. Согласно таблице сложения двоичных чисел: .

Пример 2.

2.1. Найти произведение чисел 100101₂ и 101₂.

Решение.

Согласно таблице умножения и сложения двоичных чисел:

К недостаткам двоичной системы счисления можно отнести громоздкость записи чисел. Например, число 56710₁₀ в двоичной системе счисления записывается как 10001101112. Кроме того, естественные возможности человеческого мышления не позволяют оценить быстро и точно величину числа, представленного, например, комбинацией из 16 нулей и единиц.

Для облегчения восприятия двоичного числа было решено разбивать его на группы разрядов, например, по три или четыре разряда. Эта идея оказалась очень удачной, так как последовательность из трех бит имеет 8 комбинаций, а последовательность из 4 бит – 16. Числа 8 и 16 являются степенями двойки, поэтому легко находить соответствие с двоичными числами. Развивая эту идею, пришли к выводу, что группы разрядов можно закодировать, сократив при этом длину последовательности знаков. Для кодировки трех битов требуется восемь цифр, поэтому взяли цифры от 0 до 7 десятичной системы. Для кодировки же четырех битов необходимо шестнадцать знаков; для этого взяли 10 цифр десятичной системы и 6 букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Полученные системы, имеющие основания 8 и 16, назвали соответственно восьмеричной и шестнадцатеричной.

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной (octal) системе счисления используются восемь базисных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы – 8. При записи отрицательных чисел перед последовательностью цифр ставят знак минус. Сложение, вычитание, умножение и деление чисел, представленных в восьмеричной системе, выполняются подобно тому, как это делают в десятичной системе счисления.

Запись любого числа в этой системе основывается на его разложении по степеням числа 8 с коэффициентами, являющимися указанными выше базисными числами.

Например, десятичное число 180,5₁₀ в восьмеричной системе будет изображаться в виде 264,4₈. Если записать данное число в виде полинома (1), то получим

.

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной (hexadecimal) системе счисления базисными являются числа от 0 до 9 и шесть первых букв латинского алфавита A, B, C, D, E, F, соответствующих числам 10, 11, 12, 13, 14, 15. При записи отрицательных чисел слева от последовательности цифр ставят знак минус.

Например, десятичное число 2898₁₀ в шестнадцатеричной системе будет записываться в виде В52. Действительно, с учетом того, что В=11:

Шестнадцатеричная система счисления широко используется при задании различных оттенков цвета при кодировании графической информации (так называемая модель RGB).