Перевод чисел из одной системы счисления в другую

При решении задач с помощью ЭВМ исходные данные обычно задаются в десятичной системе счисления; в этой же системе, как правило, нужно получить и окончательные результаты. Так как в современных ЭВМ данные кодируются в основном в двоичных кодах, то, в частности, возникает необходимость перевода чисел из десятичной в двоичную систему счисления и наоборот. Рассмотрим перевод чисел из одной системы счисления в другую на примерах.

Пример 3.

3.1. Преобразуйте число 567₁₀ из десятичной в двоичную систему.

Решение.

Имеется два способа преобразования десятичных чисел в двоичную систему счисления.

1-й способ. Определяется максимальная степень двойки, такая, чтобы 2 в этой степени было меньше или равно исходному числу. В нашем случае это 9, т.к. 2⁹=512, а 2¹⁰=1024, что больше начального числа (1024>567). Таким образом, получают число разрядов результата. Оно равно 9+1=10. Поэтому результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо х могут стоять любые двоичные цифры (0 или 1). Найдем вторую цифру результата. Возведем 2 в степень 9 и вычтем из исходного числа: 567-2⁹=55. Остаток сравним с числом 2⁸=256. Так как 256 > 55, то девятый разряд будет нулем, т.е. результат примет вид 10хххххххх. Рассмотрим восьмой разряд. Так как 2⁷=128 > 55, то и он будет нулевым. Седьмой разряд также оказывается нулевым. Искомая двоичная запись числа принимает вид 1000хххххх. 2⁵=32 < 55, поэтому шестой разряд равен 1 (результат 10001ххххх). Для остатка 55 - 32=23 справедливо неравенство 24=16<2³, что означает равенство единице пятого разряда. Действуя аналогично, в результате получается число 1000110111. Число 567₁₀ было разложено по степеням двойки:

567=1*2⁹+0*2⁸+0*2⁷+0*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2² +1*2¹+1*2⁰

2-й способ. При этом способе перевода чисел используется операция деления в столбик. Разделив число 567 на 2, получим частное 283 и остаток 1. Проведем ту же самую операцию с числом 283. Получим частное 141, остаток 1. Опять делим полученное частное на 2, и так до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Теперь для того, чтобы получить число в двоичной системе счисления, достаточно записать последнее частное, то есть 1, и приписать к нему в обратном порядке все полученные в процессе деления остатки.

Р езультатом является число 1000110111, что соответствует полученному 1-м способом числу.

Приведенные два способа равнозначны и применимы при переводе числа из десятичной системы в систему с любым основанием.

3.2. Преобразуйте число 682043₁₀ в систему счисления с основанием 16.

Решение.

По 2-му способу.

Будем последовательно делить число 682043₁₀ в столбик на 16. Процесс деления заканчивается, когда частное становится строго меньше 16.

С учетом замены числа 10 на A, числа 11 на B получим результат в виде А683В.

3.3. Преобразуйте число 4A3F в систему счисления с основанием 10.

Решение.

Для записи числа 4A3F в десятичной системе счисления воспользуемся полиномом (1).

.

Заменив A на 10, а F на 15, получим .

Для перевода целых чисел из двоичной системы в системы с основанием, равным степеням двойки (8=2³ и 16=2⁴), нужно:

1. данное двоичное число разбить справа налево на группы по n-цифр в каждой (для восьмеричной системы n=3, для шестнадцатеричной n=4);

2. если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то дополнить ее нулями до нужного числа разрядов;

3. рассмотреть каждую группу, как n-разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 2ⁿ.

Двоично-шестнадцатеричная таблица

2-ная	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
16-ная	0	1	2	3	4	5	6	7
2-ная	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
16-ная	8	9	A	B	C	D	E	F

Двоично-восьмеричная таблица

2-ная	000	001	010	011	100	101	110	111
8-ная	0	1	2	3	4	5	6	7

Пример 4.

4.1. Преобразуйте число 10010101 в число восьмеричной системы счисления.

Решение.

1. Разобьем число 10010101 справа налево на группы по 3-цифры в каждой (так как 8=2³)

10 010 101.

2. Так как в последней левой группе оказалось меньше 3 разрядов, то дополним ее нулями до нужного числа разрядов

010 010 101.

3. Воспользуемся двоично-восьмеричной таблицей и заменим каждую группу двоичных чисел на соответствующие восьмеричные

225.

Двоичное число 10010101 в восьмеричной системе счисления имеет вид 225.

4.2. Преобразуйте число 1101010101 в число шестнадцатеричной системы счисления.

Решение.

1. Разобьем число 1101010101 справа налево на группы по 4-цифры в каждой (так как 16=2⁴)

11 0101 0101.

2. Так как в последней левой группе оказалось меньше 4 разрядов, то дополним ее нулями до нужного числа разрядов

0011 0101 0101.

3. Воспользуемся двоично-шестнадцатеричной таблицей и заменим каждую группу двоичных чисел на соответствующие шестнадцатеричные

355.

Двоичное число 1101010101 в шестнадцатеричной системе счисления имеет вид 355.