5.2. Нелінійна багатофакторна модель
Розглядаючи нелінійну, а саме квадратичну, модель рівняння регресії, до якої входять не лінійні значення пояснюючих змінних, а тільки їх квадрати, іноді можна розкрити більш глибинні зв’язки з пояснюючими змінними
,
(5.12)
Приклад
5.2.
За
даними десяти спостережень над показником
і трьома факторами
,
,
,
представленими у таблиці 5.3, побудувати
рівняння множинної регресії виду (5.12),
знайти множинний коефіцієнт кореляції,
коефіцієнт детермінації,
статистику,
статистики
оцінок параметрів моделі,
довірчі інтервали для параметрів
рівняння регресії.
Таблиця 5.3 – Вихідні дані приклада 5.2
|
62 |
53,1 |
56,5 |
30,1 |
18,1 |
13,6 |
89,9 |
76,6 |
32,3 |
199,6 |
|
0,23 |
0,43 |
0,26 |
0,43 |
0,38 |
0,42 |
0,3 |
0,37 |
0,34 |
0,23 |
|
0,88 |
0,57 |
1,7 |
0,84 |
1,04 |
0,66 |
0,86 |
1,27 |
0,68 |
0,86 |
|
0,91 |
1,68 |
1,89 |
1,02 |
0,88 |
0,62 |
1,09 |
1,32 |
0,68 |
2,3 |
Розв’язок: Доповнимо таблицю 5.3 квадратами значень факторів (табл.5.4).
Таблиця 5.4 – Таблиця
даних з урахуванням
|
|
|
|
|
|
|
62 |
0,23 |
0,88 |
0,91 |
0,05 |
0,77 |
0,83 |
53,1 |
0,43 |
0,57 |
1,68 |
0,19 |
0,33 |
2,82 |
56,5 |
0,26 |
1,7 |
1,89 |
0,07 |
2,89 |
3,57 |
30,1 |
0,43 |
0,84 |
1,02 |
0,19 |
0,71 |
1,04 |
18,1 |
0,38 |
1,04 |
0,88 |
0,14 |
1,08 |
0,77 |
13,6 |
0,42 |
0,66 |
0,62 |
0,18 |
0,44 |
0,38 |
89,9 |
0,3 |
0,86 |
1,09 |
0,09 |
0,74 |
1,19 |
76,6 |
0,37 |
1,27 |
1,32 |
0,14 |
1,61 |
1,74 |
32,3 |
0,34 |
0,68 |
0,68 |
0,12 |
0,46 |
0,46 |
199,6 |
0,23 |
0,86 |
2,3 |
0,05 |
0,74 |
5,29 |
У цьому випадку МНК застосовують до показника і нових факторів , , .
Знаходження лінійної регресії проводимо, використовуючи опцію «Регресія» режиму «Аналіз даних» пакету EXCEL. При цьому у вікно «Вхідний інтервал X» виділяємо номери клітинок з початковими даними , , . В результаті з'явиться таблиця, зображена на рис. 5.2.
З таблиці, представленої на рис. 5.2 знаходимо:
множинний коефіцієнт кореляції
,
що свідчить про тісний кореляційний
зв'язок між
та
,
,
;
індекс детермінації
показує,
що отримане рівняння регресії пояснює
85,82 % дисперсії
;рівняння множинної лінійної регресії
;
статистику
при значущості 0,00589169;статистики:
для
коефіцієнта при змінній
:
;
для
коефіцієнта при змінній
:
;
для
коефіцієнта при змінній
:
;
95% довірчі інтервали для параметрів рівняння регресії:
для
коефіцієнта при змінній
:
;
для
коефіцієнта при змінній
:
;
для
коефіцієнта при змінній
:
Параметри
і
виявился значущими, параметр
не значуще відрізняється від нуля.
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
Множественный R |
0,926407024 |
|
R-квадрат |
0,858229974 |
|
Нормированный R-квадрат |
0,787344961 |
|
Стандартная ошибка |
24,8763764 |
|
Наблюдения |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
3 |
22477,33138 |
7492,443794 |
12,1073544 |
0,00589169 |
|
Остаток |
6 |
3713,004617 |
618,8341028 |
|
|
|
Итого |
9 |
26190,336 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Y-пересечение |
98,16312067 |
31,19423532 |
3,146835294 |
0,019894468 |
21,83357672 |
174,4926646 |
Переменная X 1 |
-438,0136749 |
171,8222224 |
-2,54922599 |
0,043536004 |
-858,4475063 |
-17,57984357 |
Переменная X 2 |
-27,33198129 |
11,93558804 |
-2,289956825 |
0,061947714 |
-56,53731306 |
1,873350476 |
Переменная X 3 |
24,96290403 |
5,850525895 |
4,266779513 |
0,005281728 |
10,64718291 |
39,27862515 |
Рисунок 5.2 – Результат застосування опції «Регресія»