7.3. Випадок двох експертів

Вважаємо, що проводиться дослідження факторів. Два експерти висловили свої судження про вплив цих факторів на процес за допомогою системи рангів. Нагадаємо, що найбільш значущому фактору експерт привласнює найбільше значення рангу (це значення дорівнює ). Ранг 1 надають найменш значущому за думкою експерта фактору. Результати експертної оцінки представляють у вигляді таблиці рангів (див. табл.7.1).

Таблиця 7.1 – Таблиця рангів – випадок двох експертів

Номер фактора	1	2	3	…
Ранги першого експерта				…
Ранги першого експерта				…
Сума рангів				…

Для кожного фактору знаходять суму і середні значення рангів, визначених експертами, проводять ранжування факторів, тобто їм приписують відповідні ранги, визначаючи таким чином результуючий ранг кожного фактору. Якщо суми рангів (або середні значення) збігаються, то призначається середнє значення.

Для оцінки зв'язку між думками двох експертів застосовують рангові коефіцієнти Спірмена і Кендалла. Ці методи застосовують не тільки для якісних, але і для кількісних показників, особливо при малому об'ємі сукупності, тому що непараметричні методи рангової кореляції не пов'язані ні з якими обмеженнями щодо характеру розподілу ознаки.

Тіснота зв'язку між ознаками оцінюється коефіцієнтом рангової кореляції Спірмена, який обчислюють за формулою

(7.1)

де – число досліджуваних факторів, – сума квадратів різниць між рангами, – ранги першого експерта, – ранги другого експерта.

Властивості коефіцієнта рангової кореляції Спірмена:

1. Якщо між думками першого і другого експертів є повний збіг, тоді .

2. Якщо між думками експертів є повна протилежність, то .

3. В інших випадках значення коефіцієнта знаходяться в інтервалі ; причому зростання абсолютного значення коефіцієнта рангової кореляції від 0 до 1 характеризує збільшення відповідності між думками експертів; залежність між думками тим менша, чим ближче до нуля.

При наявності зв'язаних рангів коефіцієнт рангової кореляції Спірмена розраховують за формулою

, (7.2)

де і – поправки на однакові ранги; і – об'єм кожної групи однакових рангів серед рангів першого і другого експертів.

Перевірку значущості коефіцієнту рангової кореляції Спірмена проводять на основі критерію Стьюдента за наступною схемою:

• За певним рівнем значущості , який характеризує ймовірність помилкових висновків (на практиці найчастіше застосовується рівень значущості ), і числом ступенів свободи , де – число факторів, обчислюють розрахункове значення критерію за формулою

,                               (7.3)

де – критична точка двосторонньої критичної області, знайдена за таблицями критичних точок розподілу Стьюдента.

• Якщо , то коефіцієнт рангової кореляції Спірмена вважають статистично значущим, гіпотезу про відсутність кореляції (або, що теж саме про незалежність думок експертів) повинно бути відхилено, між думками двох експертів існує значущий ранговий кореляційний зв'язок.

• Якщо , тоді приймається гіпотеза, згідно якої ранговий кореляційний зв'язок між думками двох експертів вважають незначущим.

Для вимірювання взаємозв'язку між якісними і кількісними ознаками, що характеризують однорідні об'єкти, які упорядковують за одним принципом, також використовують ранговий коефіцієнт кореляції Кендалла, розрахунок якого проводиться в наступній послідовності:

1. ранги першого експерта впорядковуються (ранжують в порядку зростання);

2. ранги другого експерта розташовуються у відповідному порядку;

3. для кожного рангу другого експерта підраховують число випадків, коли ранги, що слідують за ним, більші за нього. Сума цих величин складає значення ;

4. для кожного рангу другого експерта підраховують число випадків, коли ранги, що слідують за ним, менші за даного. Сума таких величин складає значення ;

5. обчислюють величину ;

6. правильність розрахунку контролюється умовою ;

7. коефіцієнт рангової кореляції Кендалла обчислюють за формулою

. (7.4)

Формулу (7.4) застосовують при відсутності однакових рангів. При наявності зв'язаних рангів узагальнена форма коефіцієнта рангової кореляції Кендалла враховує обов'язкові поправки на однакові ранги:

, (7.5)

де , , величини і як і раніш означають число однакових рангів у ранжировках першого та другого експертів.

Коефіцієнт Кендалла має такі ж властивості, що коефіцієнт Спірмена.

Для перевірки статистичної значущості коефіцієнта рангової кореляції Кендалла необхідно знайти статистику

.                 (7.6)

За таблицями для функції Лапласа для заданого рівня значущості знаходять критичну точку двосторонньої критичної області, що визначається з умови . Коли , маємо ; тоді за таблицями функції Лапласа .

• Якщо , тоді гіпотезу про відсутність зв'язку між думками експертів відхиляють, ранговий зв'язок між думками експертів вважають значущим.

• Якщо , тоді приймають гіпотезу про відсутність рангового кореля-

ційного зв'язку між думками обох експертів.

Іноді в практичних розрахунках зустрічається спрощена формула коефіцієнта Кендалла , де величина характеризує число інверсій (порушень порядку) в ранжировці другого експерта, яку записано у відповідності до впорядкованої ранжировки першого експерта.

Для попереднього визначення рівня зв'язку залежності думок експертів наведемо оцінки коефіцієнтів рангової кореляції (див. табл. 7.2).

Таблиця 7.2 – Якісна оцінка коефіцієнта рангової кореляції

Кількісна міра тісноти зв'язку	Якісна характеристика сили зв'язку
	Думки експертів практично неузгоджені
	Слабка узгодженість думок експертів
	Помірна ступінь узгодженості думок експертів
	Помітна ступінь узгодженості думок експертів
	Висока ступінь узгодженості думок експертів
	Дуже висока узгодженість, думки експертів практично співпадають

Формули для коефіцієнтів рангової кореляції Спірмена і Кендалла дають досить близькі значення. Як правило, коефіцієнт Кендалла менше коефіцієнта Спірмена. Порівняльна оцінка коефіцієнтів рангової кореляції Спірмена і Кендалла показує, що обчислення коефіцієнтів Спірмена проводиться за більш простою формулою. Крім того, коефіцієнт Спірмена дає більш точний результат, оскільки він є оптимальною (за критерієм мінімуму середнього квадрата помилки) оцінкою коефіцієнта кореляції. Отже, при практичних розрахунках кореляційної залежності ранжувань доцільніше використовувати коефіцієнт рангової кореляції Спірмена.

Приклад 7.1. Для розв'язання маркетингової проблеми – збільшення збуту певного товару – проведено експертне дослідження двома експертами по виявленню впливу на цей показник десяти узагальнених економічних факторів. Потрібно оцінити результати експертного дослідження, представленого таблицею рангів 7.3.

Таблиця 7.3 – Таблиця рангів приклада 7.1

Номер фактора	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Сума
	3	5	1	8	7	10	9	2	4	6	55
	5	1	2	6	8	9	10	3	4	7	55
Сума рангів	8	6	3	14	15	19	19	5	8	13
Підсумковий ранг	4.5	3	1	7	8	9.5	9.5	2	4.5	6	55

Розв'язок: Для перевірки правильності проведених обчислень для ранжування факторів кожним експертом визначають суму рангів (для десяти факторів вона складає 55). Шостий і сьомий фактори мають найбільшу однакову суму рангів, яка дорівнює 19, тобто вони обидва є найвпливовішими з усіх факторів за думками двох експертів. Тому саме ці два фактори повинні стояти на десятому та дев'ятому місцях і одержати бали 10 і 9. Оскільки ці фактори з точки зору експертів рівноцінні, то одержують середній сумарний бал . Наступна сума рангів 15 визначає сумарний ранг 8 для п'ятого фактору. Продовжуючи аналогічно визначати сумарні ранги, для першого та дев'ятого фактору знову маємо однакові суми рангів, тому ці фактори знову обидва займають четверте і п'яте місця – їх сумарний ранг дорівнює 4,5.

Отже, остаточне ранжування факторів за думками двох експертів має вид

. (7.7)

Самими значущими є фактори з номерами 6, 7, 5 – вони здійснюють найпотужніший вплив на показник. Самими незначущими є фактори під номерами 2, 8, 3. Ранжування (7.7) має два зв’язки, тобто дві групи однакових рангів.

Перевірка узгодженості думок експертів за критерієм Спірмена:

1) Для обчислення коефіцієнта Спірмена застосовують формулу (7.1) в силу відсутності зв'язаних рангів у ранжуваннях обох експертів

Тут – число факторів. За величною коефіцієнта рангової кореляції Спірмена має місце висока ступінь узгодженості думок двох експертів.

2) Перевіримо значущість коефіцієнта рангової кореляції. За таблицями критичних точок розподілу Стьюдента для рівня значущості і числа ступенів свободи маємо . Тоді

.

3) Оскільки , то можна вважати коефіцієнт рангової кореляції Спірмена статистично значущим, а думки експертів визнати узгодженими.

Перевірка узгодженості думок експертів за критерієм Кендалла:

1) Для знаходження коефіцієнта рангової кореляції Кендалла слід упорядкувати ранги першого експерта, а ранги другого експерта перенести відповідно

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	3	5	4	1	7	8	6	10	9

Застосуємо для підрахунку коефіцієнта Кендалла спочатку формулу (7.4). Для кожного елемента другого ряду знайдемо кількість рангів, що його перевищують і знаходяться праворуч від нього. Наприклад, для двійки – це 3, 5, 4, 7, 8, 6, 10, 9 – всього вісім; для трійки – це 5, 4, 7, 8, 6, 10, 9 і т.д. Тому . Далі для кожного елемента другого ряду знайдемо кількість рангів, що розташовані за ним і менші за нього. Для двійки – це 1 – один ранг; для трійки – це теж одиниця – один ранг; для п'ятірки – це 4, 1 – всього два і т.д. Отже . Тоді . Перевірка правильності проведених обчислень дає . Коефіцієнт рангової кореляції Кендалла за формулою (7.4) дорівнює . За величною коефіцієнта має місце помітна узгодженості думок експертів.

2) Для перевірки значущості коефіцієнта рангової кореляції при рівні значущості за рівністю (7.6) маємо .

3) Оскільки , то гіпотезу про відсутність зв'язку між думками експертів відхиляють і ранговий зв'язок між думками експертів вважають значущим.

Отже, за двома критеріями Спірмена і Кендалла одержано аналогічні висновки щодо узгодженості думок експертів. Таким чином, упорядкування факторів за дією їх впливу на досліджуваний показник має вигляд (7.7).

Іноді цікавим для дослідника є використання результуючого ранжування факторів для переходу від рангової шкали факторів до шкали їх вагових коефіцієнтів у діапазоні від 0 до 1. Тут звичайно використовуються елементарні прийоми нормування. Фактори під номерами шість та сім мають ранг 9,5, фактор під номером 5 має ранг 3 і т.д., а сума рангів дорівнює 55. Ваговий коефіцієнт для факторів шість та сім повинен бути найбільшим. Обчислюють ваги факторів за правилом

, (7.8)

де – номер фактору, – підсумковий ранг фактору, – сума рангів.

У нашому випадку (див. приклад 7.1): . Тоді за формулою (7.8) для факторів під номерами шість та сім маємо ; для фактору п'ять – ; для фактору чотири – і т.д. (див. табл. 7.4).

Таблиця 7.4 – Визначення вагових коефіцієнтів факторів

Номер фактору	Сумарний ранг фактору	Вага фактору
1	4,5	0,08
2	3	0,05
3	1	0,02
4	7	0,13
5	8	0,15
6	9,5	0,17
7	9,5	0,17
8	2	0,04
9	4,5	0,08
10	6	0,11
Сума
55	55	1

Потрібно зауважити, що сума ваг всіх десяти факторів повинна складати одиницю.

На практиці дуже часто результати експертизи містять багато однакових значень, тому після ранжування значень вимірювання одержують ранжування з багатьма зв'язаними рангами. Розглянемо експертне дослідження, при якому реалізується випадок однакових значень рангів.

Приклад 7.2. При визначенні ступеня залежності поведінки потенціальних покупців у випробуваній сукупності (17 однорідних груп клієнтів) були одержані дані до проведення маркетингової каманії та після неї. Чи залежить поведінка потенціального покупця, який проходить випробування, від проведення цієї рекламної кампанії?

Результати експерименту:

До	16	13	14	9	10	13	14	14	18	20	15	10	9	10	16	17	18
Після	24	6	9	10	23	20	11	12	19	18	13	14	13	14	7	9	14

Розв'язок: Знайдемо ранги спостережених значень (привласнюючи однаковим значення середнє арифметичне їх рангів):

До	16	13	14	9	10	13	14	14	18	20	15	10	9	10	16	17	18
Ранги	12,5	6,5	9	1,5	4	6,5	9	9	15,5	17	11	4	1,5	4	12,5	14	15,5
Після	24	6	9	10	23	20	11	12	19	18	13	14	13	14	7	9	14
Ранги	17	1	3,5	5	16	15	6	7	14	13	8,5	11	8,5	11	2	3,5	11

Отже маємо таблицю 7.5 рангів проведеного експертного дослідження.

Таблиця 7.5 – Таблиця рангів прикладу 7.2

Фактори	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
	12,5	6,5	9	1,5	4	6,5	9	9	15,5	17	11	4	1,5	4	12,5	14	15,5
	17	1	3,5	5	16	15	6	7	14	13	8,5	11	8,5	11	2	3,5	11
	29,5	7,5	12,5	6,5	20	21,5	15	16	29,5	30	19,5	15	10	15	14,5	17,5	26,5

І для першого, і для другого ранжувань відмітимо наявність зв'язаних рангів.

Сформулюємо гіпотези:

кореляція між ступенем залежності поведінки потенціальних покупців до рекламної кампанії та після неї не відрізняється від нуля.

кореляція між ступенем залежності поведінки клієнтів до проведення рекламної кампанії і після неї достовірно відрізняється від нуля.

Розглянемо варіант розв'язання за критерієм Спірмена. У випадку великої кількості значень у ранжуванні обчислення рангового коефіцієнта кореляції доцільно вести у розрахунковій таблиці (див. табл. 7.6).

Таблиця 7.6 – Розрахунок суми квадратів відхилень рангів

для коефіцієнта рангової кореляції Спірмена

12,5	17	- 4,5	20,25
6,5	1	5,5	30,25
9	3,5	5,5	30,25
1,5	5	- 3,5	12,25
4	16	- 12	144
6,5	15	- 8,5	72,25
9	6	3	9
9	7	2	4
15,5	14	1,5	2,25
17	13	4	16
11	8,5	2,5	6,25
4	11	- 7	49
1,5	8,5	- 7	49
4	11	- 7	49
12,5	2	10,5	110,25
14	3,5	10,5	110,25
15,5	11	4,5	20,25
153	153	0	734,5

Слід зауважити, що сума всіх відхилень рангів першого і другого ранжування повинна дорівнювати нулю: .

З таблиці 7.6 одержуємо . Оскільки ми маємо зв'язані ранги, то будемо застосовувати формулу (7.2) з поправками на однакові ранги. Для першого ранжування маємо шість груп однакових рангів. Це ранги

Розрахуємо поправку на зв'язані ранги для першої ранжировки

.

Для другого ранжування маємо три групи однакових рангів:

Тоді поправка на зв'язані ранги для другого ранжування дорівнює

.

Значення коефіцієнта рангової кореляції Спірмена

свідчить про практичну неузгодженість першого і другого ранжувань.

Знаходимо критичне значення , тоді за формулою (7.3) маємо критичне значення . Оскільки , то коефіцієнт рангової кореляції Спірмена не значуще відрізняється від нуля. Тому гіпотезу слід відхилити і прийняти гіпотезу , тобто кореляція між ступенем залежності поведінки потенціальних покупців до проведення рекламної кампанії і після неї не відрізняється від нуля.

За критерієм Кендалла застосуємо формулу (7.5) з поправками на зв'язані ранги. Спочатку упорядкуємо ранги першого ранжування, а ранги другого ранжування перенесемо відповідно до рангів першого. Причому слід додержуватись загального характеру упорядкування, тобто переносити ранги, зберігаючи динаміку збільшення рангів. Наприклад, для двох найменших рангів першого ранжування (вони дорівнюють 1,5) ранги другого розташовують у порядку їх збільшення, тобто спочатку 5, а потім 8,5. Для трьох рангів першого ранжування, що дорівнюють 4, порядок перенесення рангів другого має бути таким: 11, 11, 16 і т.д. В таблиці 7.7 наведено розрахунок величин і .

Таблиця 7.7 – Розрахунок величин і

1,5	5	12	4
1,5	8,5	8	6
4	11	6	7
4	11	6	7
4	16	1	11
6,5	1	11	0
6,5	15	1	9
9	3,5	7	1
9	6	6	2
9	7	5	2
11	8,5	4	2
12,5	2	5	0
12,5	17	0	4
14	3,5	3	0
15,5	11	2	0
15,5	14	0	1
17	13
		77	56

Поправки на однакові ранги першого та другого ранжувань дорівнюють

,

.

Величина рангового коефіцієнта Кендалла

.

вказує на практичну неузгодженість двох ранжувань.

Для перевірки значущості коефіцієнта визначимо статистику

і порівняємо знайдене значення з величиною . Оскільки , ранговий кореляційний зв'язок між обома ранжуваннями можна вважати відсутнім.

Отже, за обома критеріями Спірмена і Кендалла результати експерименту до та після проведення рекламної кампанії не можна визнати узгодженими. Таким чином, не виявлено зв'язку між ступенем залежності поведінки потенціальних покупців до рекламної кампанії та після неї.