- •4. Задачи на наименьшее и наибольшее значения
- •7. Общая схема исследования функций и построения графиков
- •§4. Функции нескольких переменных
- •1. Основные определения
- •2. Частные и полное приращения функции двух переменных
- •3. Частные производные функции двух переменных
- •4. Полный дифференциал функции двух переменных
- •§ 5. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Основные определения
- •2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
- •3. Условный экстремум
7. Общая схема исследования функций и построения графиков
Исследование заданной функции и построение ее графика целесообразно проводить в следующем порядке.
Найти область определения функции.
Исследовать функцию на четность и нечетность.
Исследовать функцию на периодичность.
Найти точки пересечения графика с осями координат.
Найти интервалы знакопостоянства функции.
Найти точки разрыва и асимптоты.
Найти критические точки первого рода.
Найти интервалы монотонности и точки экстремума.
Найти критические точки второго рода.
Найти интервалы выпуклости, вогнутости и координаты точек перегиба.
Построить график функции.
Пример 7. Исследовать функцию f(x) = и построить ее график.
Решение
1. Функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = , x = , в которых знаменатель обращается в нуль, т.е.
D(f): (; )( ; )( ;+).
Функция нечетная, т.к.
f(x) = .
Функция непериодическая.
Точки пересечения с осями координат находим из уравнения:
с осью Оx: y = 0, x=0;
с осью Оу: х = 0 у = 0.
Следовательно, график функции проходит через начало координат (0; 0).
Отметим на числовой оси точки, в которых функция не определена и точку пересечения с осью Ох и определим знак функции в каждом из полученных интервалов.
+ +
0 х
f(2) = f(1) =
f(1) = f(2) =
Точками разрыва второго рода данной функции являются x = и x = . Вычислим односторонние пределы в каждой из них:
Отсюда следует, что прямые x = и x = являются вертикальными асимптотами графика функции f(x).
Горизонтальных асимптот нет, т. к.
Найдем наклонную асимптоту у = kx + b, для чего вычислим
k = ;
b = .
Итак, у = x уравнение наклонной асимптоты.
Вычислим . когда x2 (9 x2) = 0, получим x = 0, x = 3 и x = 3 критические точки первого рода. В точках x = , x = производная не существует и, следовательно, они также являются критическими точками первого рода данной функции.
Расставим критические точки на числовой оси и определим знаки производной в каждом из полученных интервалов. Так как x2 0, (3 x2)2 0, то знак производной определяется знаком разности 9 x2. Поэтому при < x < 3 и 3 < x < + и, следовательно, функция убывает в этих интервалах, а при 3 < x < , и < x < 3 и функция возрастает.
min max
+ + + +
3 0 3 х
В точке x = 3 производная меняет знак с () на (+), а в точке x = 3 c (+) на (). Поэтому согласно Теореме 4 точка x = 3 является точкой минимума, а x = 3 точкой максимума данной функции. Вычислим значения функции в точках максимума и минимума.
ymin = f(3) = ;
ymax = f(3) = .
Итак, координаты минимума функции и максимума .
Вычислим
.
Очевидно, только при х = 0, кроме того, вторая производная не существует при x = , следовательно, эти точки являются критическими точками второго рода.
10. Расставим критические точки второго рода на числовой оси и определим знак в каждом из полученных интервалов.
+ +
0 х
;
;
;
Тогда, согласно Теореме 6, на интервалах ( и (0; график функции вогнутый, а на интервалах и ( выпуклый. Точка с координатами (0; f(0)=0), в которой вторая производная равна нулю, является точкой перегиба.
11. Построим график функции. Для этого на плоскости (x; y) отметим точки разрыва x = , экстремумы: min , max и точку перегиба графика функции (0; 0), построим асимптоты x = , = , y = x.
Используя данные пунктов 6 и 7, отметим предельные значения функции вблизи точек разрыва и при x . Соединив отмеченные точки плавной кривой, получим график функции.
у
3
3 0 х
Построить графики функций
260. f(x) = x3 3x 261. f(x) = 12x x3
262. f(x) = 263. f(x) =
264. f(x) = x 265. f(x) = x (x 1)2/3
266. f(x) = 267. f(x) =
268. f(x) = 269. f(x) =
270. f(x) = 271. f(x) =
272. f(x) = 273. f(x) =
274. f(x) = 275. f(x) = ln
276. f(x) = x ex/2 277. f(x) =
278. f(x) = x2 e1/x 279. f(x) = x3 ex
280. f(x) = x 281. f(x) = x3 ex
282. f(x) = 283. f(x) =