1. Основні поняття.

Основна зад. диференціального числення полягає в знаходженні похідної ф. . Багато питань математичного й економічного аналізу приводять до оберненої зад.: для заданої ф. знайти таку ф. , похідна якої дорівнювала б , тобто . Розділ математики, що вивчає методи знаходження ф. за її похідною наз. інтегральним численням.

ОЗ 1 Диференційовну ф. наз. первісною для ф. на проміжку , якщо для довільного виконується рівність .

Теорема 1 Якщо ф. є первісною для ф. на проміжку , то всі первісні для ф. мають вигляд , де .

ОЗ 2 Множину всіх первісних для ф. наз. невизначеним інтегралом і позначають

(1)

У рівності (1) символ – знак інтеграла; – підінтегральна ф.; – змінна інтегрування; – підінтегральний вираз; ф. є однією з первісних для ф. ; – довільна стала.

2. Основні властивості невизначеного інтеграла.

1) Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній ф.

2) Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу

3) Невизначений інтеграл від диференціала деякої ф. дорівнює цій ф. з точністю до довільної сталої

4) Сталий множник можна виносити за знак інтеграла

5) Інтеграл від алгебраїчної суми дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів

3. Таблиця інтегралів.

4. Безпосереднє інтегрування.

Зазначимо, що немає універсального методу інтегрування ф., проте існують основні методи інтегрування: метод безпосереднього інтегрування, метод заміни і метод інтегрування частинами.

Розглянемо метод безпосереднього інтегрування. Цей метод ґрунтується на застосуванні табличних інтегралів та основних властивостей невизначеного інтеграла.

Тема: Заміна змінної. Інтегрування за частинами.

План.

1. Заміна змінної.

2. Інтегрування частинами.

1. Заміна змінної.

У багатьох випадках введення нової змінної інтегрування дає змогу звести знаходження даного інтеграла до відшукання табличного інтеграла. Цей метод базується на такій теоремі.

Теорема 2 Нехай ф. визначена на проміжку , а ф. визначена на проміжку і має на ньому первісну . Тоді на проміжку складна ф. є первісною для ф. , тобто справедлива формула

(2)

Формулу (2) наз. формулою заміни змінної в невизначеному інтегралі.

Наслідок 1. Справедлива формула

Наслідок 2. Справедлива формула

Приклад.

2. Інтегрування частинами.

Теорема 3 Нехай ф. визначені і диференційовні на проміжку . Крім того, на цьому проміжку існує первісна для ф. . Тоді на проміжку існує первісна для ф. , причому справедлива формула

(3)

Формулу (3) наз. формулою інтегруваня частинами в невизначеному інтегралі.

На практиці для застосування формули (3) підінтегральний вираз розбивають на два множники, які позначають та . Потім диференціювання знаходять , а інтегруванням – ф. .

Правила для застосування формули (3).

1. В інтегралах вигляду

де – многочлен -го степеня, позначають , а вирази – через .

2. В інтегралах вигляду

вирази позначають через , а .

3. В інтегралах вигляду

в результаті дворазового застосування методу інтегрування частинами можна дістати лінійне рівняння відносно заданого інтеграла.

Тема: Функції багатьох змінних. Диференціальне числення функцій багатьох змінних та його застосування.

План.

1. Поняття функції 2-ох, 3-ох, багатьох змінних. Область визначення і множина значень.

2. Поняття графіка функцій двох змінних.

3. Поняття частиного приросту функції, повного приросту функції.

4. Поняття частиних похідних 1-го, 2-го порядку і техніка їх знаходження.