1. Обернена матриця

ОЗ 21 Оберненою матрицею до квадратної матриці називають таку матрицю , для якої

де – алгебраїчне доповнення елемента ; – визначник матриці .

ОЗ 22 Квадратну матрицю наз. невиродженою, або неособливою, якщо її визначник не дорівнює нулю ( ); в іншому випадку ( ) матрицю наз. виродженою, або особливою.

Не кожна квадратна матриця має обернену.

Теорема 2 (Необхідна і достатня умова існування оберненої матриці.) Обернена матриця існує й єдина тоді й лише тоді, коли матриця невироджена.

2. Матричний метод розв'язування системи рівнянь.

Розгляньмо систему (2).

ОЗ 23 Матрицю

називають основною матрицею, а матрицю

– розширеною матрицею системи.

Позначимо через та матриці стовпці складені з невідомих і вільних членів. Перемножимо матриці та і прирівняємо результат до матриці . В результаті отримаємо систему (2). Отже, систему (2) можна записати у вигляді

(5)

Запис (5) називають матричним записом СЛАР.

Матриця системи (2) – квадратна, а її визначник називають основним визначником системи.

Припустимо, що матриця невироджена, тобто її визначник . У цьому разі існує обернена матриця .

Запишемо систему в матричному вигляді (5). Помноживши зліва обидві частини матричної рівності на матрицю , дістанемо

Оскільки то розв'язком системи буде матриця -стовпець

Тема: Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі.

План.

1. Ранг матриці.

2. Теорема Кронекера-Капеллі.

1. Ранг матриці.

Для дослідження й розв'язування багатьох задач важливе значення має поняття рангу матриці.

Якщо в матриці розміру виділити будь-які рядків і стовпців, то отримаємо квадратні підматриці -го порядку, де Визначники таких підматриць називають мінорами -го порядку матриці .

ОЗ 24 Рангом матриці наз. найвищий порядок ненульових мінорів цієї матриці й позначають так: , або .

Метод обвідних мінорів обчислення рангу. Нехай в матриці знайдено мінор -го порядку , відмінний від нуля. Розглянемо тільки ті мінори -го порядку, які містять у собі (обводять) мінор . Якщо усі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює . В протилежному випадку серед обвідних мінорів знайдеться ненульовий мінор -го порядку, і вся процедура повторюється.

ОЗ 25 Відмінний від нуля мінор матриці , порядок якого , називається базисним мінором.

Теорема 3 (Теорема про базисний мінор) Базисні рядки матриці лінійно незалежні. Будь-який рядок матриці може бути представлений у вигляді лінійної комбінації базисних рядків.

З теореми випливає, що максимальна кількість лінійно незалежних рядків матриці дорівнює її рангу.

Властивості.

1. Для рангу матриці розміру виконується співвідношення .

2. тоді й лише тоді, коли всі елементи матриці дорівнюють нулю.

3. Для квадратної матриці -го порядку тоді й лише тоді, коли матриця невироджена.

Елементарні перетворення матриці.

1. Відкидання нульового рядка (стовпця).

2. Множення всіх елементів рядка (стовпця) матриці на не нульове число.

3. Переставлення рядків (стовпців) матриці.

4. Додавання до елементів одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на будь-яке число.

Теорема 4 Внаслідок елементарних перетворень матриці її ранг не змінюється.

Метод елементарних перетворень для знаходження рангу. Метод базується на теоремі про незмінність рангу при елементарних перетвореннях. З допомогою елементарних перетворень дану матрицю перетворюють у матрицю , ранг якої легко знаходиться. Тоді, .