Расчетное задание № 2 Синтез рекурсивных цифровых фильтров [фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (бих-фильтров)]

Разделы задания:

1. Введение

2. Проектирование БИХ-фильтра

3. Заключение с выводами

4. Перечень используемой литературы

Задача проектирования БИХ-фильтра по заданным требованиям к частотным характеристикам включает этапы:

1. Решение аппроксимационной задачи (определение коэффициентов передаточной функции фильтра по заданным требованиям к частотным характеристикам);

2. Построение схемы РЦФ.

3. Учет эффектов конечной разрядности.

I. Решение аппроксимационной задачи.

На этапе решения аппроксимационной задачи определяется передаточная функция H(z) фильтр, воспроизводящая заданную АЧХ А() с требуемой точностью (А_п – допуск на максимальное значение неравномерности АЧХ в полосе пропускания; А_з – допуск на максимальное отклонение АЧХ от нуля в полосе задерживания).

Исходными данными являются граничные частоты полос пропускания и задерживания (f_г.п, f_г.з) частота дискретизации (f_А), а также величин А_П и А_З.

В качестве исходных данных при решении аппроксимационной задачи могут задаваться не требования к АЧХ А(), а требования к характеристике затухания а() [а()=-20 lgA()]. В этом случае исходные данные: а – верхняя граница рабочего затухания в полосе пропускания; а₀ – нижняя граница затухания в полосе задерживания. [а=-20 lg(1-A_п); a₀==-20 lg(A_з)].

Для расчета избирательных БИХ-фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ) наиболее используется косвенный метод синтеза фильтров – метод билинейного преобразования (передаточная функция T(s) аналогового фильтра прототипа преобразуется в передаточную функцию H(z) цифрового БИХ-фильтра). Достоинством метода билинейного преобразования по сравнению с другими методами преобразования аналогового фильтров в цифровые является то, что данный метод обеспечивает построение данного БИХ-фильтра, выходной сигнал которого приближенно совпадает с выходным сигналом аналогового фильтра – прототипа при одинаковых произвольных входных сигналах.

В результате решения аппроксимационной задачи определяется передаточная функция T(s) аналогового фильтра, АЧХ А() которого приближается к определенной идеальной характеристике нормированного фильтра (Баттерворта, Чебышева, инверсного Чебышева, Золотарева-Кауэра).

Фильтр Баттерворта (тип В).

Передаточная функция

АЧХ монотонно убывает при увеличении , затухание монотонно возрастает.

Фильтр Чебышева (тип Т)

Передаточная функция

АЧХ равноволновая в полосе пропускания, монотонно убывающая в полосе задерживания.

Инверсные фильтры Чебышева (тип I)

П ередаточная функция

АЧХ равноволновая в полосе задерживания и монотонно убывающая в полосе пропускания.

Фильтры Золотарева-Кауэра (тип С)

П ередаточная функция

АЧХ равноволновая в полосах пропускания и задерживания.

Алгоритм определения передаточной функции цифрового фильтра H(z) состоит из этапов:

1. Расчет нормированных “граничных частот”:

2. Расчет параметра преобразования  (таблица 1).

Таблица 1

Цифровой фильтр	Граничные цифровые частоты	Формула замены	Параметр	Связь “аналоговых” частот с “цифровыми частотами”	Граничные “аналоговые ” частоты
Нижних частот (ФНЧ)
Верхних частот (ФВН)
Полосовой (ПФ)
Режекторный (РФ)

3. Нахождение граничной “аналоговой” частоты _k полосы задерживания аналогового фильтра-прототипа (таблица 1).

4. Определение передаточной функции T(s) аналогового нормированного фильтра-прототипа необходимого диапазона частот требуемого типа (В, Т, I и С):

   1. Определение модуля коэффициента отражения |р| (таблица 2).

Таблица 2.

	5	10	15	25	50
Δa, дБ	0,011	0,044	0,10	0,28	1,25

2. Определение вспомогательного параметра L по общей номограмме рис.1.

Рис.1

3. Определение порядка n передаточной функции по номограмме для соответствующего типа фильтра (рис.2 (В); рис.3 (Т,I); рис.4 (С)).

Рис.2 Рис.3 Рис.4

4. Запись передаточной функции T(s) в общем виде в зависимости от типа выбранного фильтра (см. стр.1,2).

5. Определение численных значений коэффициентов T(s) из таблиц с учетом величин n, |p| и _k.

Для В-фильтра.

Таблица 3.

5	0,05006262	3,1602993306	3,1602993305
10	0,10050378	2,2304567213	2,2304567213
15	0,15171652	1,8253842510	1,8153842509
25	0,25819889	1,3915788419	1,3915788418
50	0,57735027	0,9306048582	0,9306048582

5	0,05006262	2,7132854279	1,3566427140	2,3497741083
10	0,10050378	2,1508388528	1,0754144564	1,8626724257
15	0,15171652	1,8749471964	0,9374735982	1,6237519029
25	0,25819889	1,5704178025	1,7852089012	1,3600217115
50	0,57735027	1,2009369490	0,6004684745	1,0400419062

5	0,05006262	1	0,8090237244	1,9531560473
		2	1,9521560478	0,8090237244
10	0,10050378	1	0,6796636758	1,6408532638
		2	1,6408532639	0,6796636757
15	0,15171652	1	0,61317076610	1,4803251816
		2	1,4803251816	0,6131707669
25	0,25819889	1	0,5368476642	1,29606449118
		2	1,2960649118	0,5368476642
50	0,57735027	1	0,4390154585	1,0598770740
		2	1,05987770740	0,4390154585

Для Т-фильтра.

Таблица 4.

5	0,10012523	2,1794494718	2,2912878475
10	0,20100756	1,5000000135	1,6583124073
15	0,30343304	1,1902380715	1,3844373105
25	0,51639778	0,8660254040	1,1180339888
50	1,1547005	0,5000000000	0,8668254038

5	0,20025047	1,5633880273	0,7816940137	0,6073139226
10	0,40201513	1,1717182911	0,5858591455	1,3340512791
15	0,60686608	0,9721338860	0,4860669430	1,2078009850
25	1,0327956	0,7433421107	0,3716710553	1,0790820730
50	2,3094011	0,4532218472	0,2266109236	0,9508194004

5	0,40050094	1	0,4050275555	0,1352476518
		2	0,9778230177	0,5572198221
10	0,80403025	1	0,3138479999	101948459178
		2	0,7576960978	0,4949213841
15	1,2137322	1	0,2648393341	1,1235472968
		2	0,6393787122	0,4653885283
25	2,0655911	1	0,2062835572	1,0495570027
		2	0,4980125615	0,4347407450
50	4,6188022	1	0,1282831330	0,9744071347
		2	0,3097028796	0,4036126504

Для С, I-фильтров.

Таблица 5.

20	9,9498744	0,2999999979	0,3316624761
30	31,606961	0,1749936473	0,1806177638
40	99,995000	0,0994987438	0,1004987563
50	316,22618	0,0561451481	0,0563229769
60	999,99950	0,0316069613	0,0316385840

20	3,3166248	0,8534474605	0,2759680580	0,6284028227
30	10,535654	0,5357797764	0,2204319884	0,4331463280
40	33,331667	0,3522995078	0,1611490043	0,2959331482
50	105,40873	0,2362045985	0,1133588591	0,2017462184
60	333,33317	0,1597464581	0,0783732283	0,1374675538

20	9,9498744	1	0,205649009	0,7829113624
		2	0,9250907591	0,6042623160
30	31,606961	1	0,1987869166	0,6179848097
		2	0,6836285132	0,3646353758
40	99,995000	1	0,1711601220	0,4761022471
		2	0,504370363	0,2407904870
50	316,22618	1	0,1385417716	0,36217033184
		2	0,3742614213	0,1678633206
60	999,99950	1	0,1084075374	0,2736910807
		2	0,2788032187	0,120766853

6. Запись передаточной функции аналогового нормированного фильтра с численными значениями коэффициентов.

7. Расчет АЧХ и затухания аналогового фильтра по программе 1.