8.2. Оценка результатов выборочного наблюдения
Порядок оценки результатов выборочного
наблюдения рассмотрим на примере
определения генеральной средней (
)
для количественного признака и генеральной
доли (p) для альтернативного
атрибутивного признака.
Обозначим ошибку выборки соответственно:
;
,
где:
– выборочная средняя;
w – выборочная доля.
Ошибка выборки является случайной величиной, так как заранее неизвестно, какие единицы попадут в выборочную совокупность, а какие – нет. Поэтому, оценивая точность результатов наблюдения, рассчитывают среднее и предельное значение ошибки выборки, которые связаны между собой уравнением:
;
,
где:
– предельные значения ошибки выборки;
– средние значения ошибки выборки;
t – коэффициент доверия. Он зависит от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки – доверительной вероятности.
Предельное значение ошибки выборки определяет предельные границы генеральной средней (доли), образующие доверительный интервал:
;
.
Если показатель предельной ошибки выборки характеризует точность результатов выборочного наблюдения, то показатель доверительной вероятности – их достоверность. При заданном объеме выборочной совокупности между ними существует обратная связь – увеличение точности результатов наблюдения приводит к уменьшению их достоверности и наоборот.
В таблице 8.1 представлены значения доверительной вероятности, наиболее часто применяемые при проведении статистических выборок большого объёма (не менее 30 единиц), и соответствующие им значения коэффициента доверия.
Таблица 8.1
P |
0,683 |
0,95 |
0,954 |
0,99 |
0,997 |
t |
1 |
1,96 |
2 |
2,58 |
3 |
Порядок расчёта средней ошибки выборки зависит от способа выборочного наблюдения и метода отбора.
При собственно-случайном наблюдении среднюю ошибку выборки определяют по следующим формулам:
при повторном отборе
;
;
при бесповторном отборе
;
,
где:
– выборочная дисперсия;
– выборочная дисперсия доли;
n – объём выборочной совокупности;
N – объём генеральной совокупности.
При заданном объеме выборки средняя ошибка бесповторного наблюдения всегда меньше средней ошибки повторного наблюдения, так как при бесповторном наблюдении выборочная совокупность будет в большей степени соответствовать генеральной, чем при повторном наблюдении, при котором может быть отобрана несколько раз одна и та же единица генеральной совокупности. Математически это подтверждается тем, что объем выборки всегда меньше объема исходной статистической совокупности, то есть
.
Тогда
.
Очевидно, что появление в формуле дополнительного множителя, меньшего единицы, уменьшает окончательный результат.
Пример 8.1. В таблице 8.2 представлены данные собственно-случайного повторного выборочного наблюдения деревьев в лесу, организованного с целью определения среднего диаметра деревьев во всем лесу. Рассчитаем границы, в которых находится генеральное значение среднего диаметра деревьев, гарантировав эти границы с вероятностью 0,683.
Таблица 8.2
Диаметр дерева, см |
10 – 30 |
30 – 50 |
50 – 70 |
70 – 90 |
90 - 110 |
Итого |
Число деревьев |
25 |
55 |
10 |
5 |
5 |
100 |
Решение.
Искомые границы среднего диаметра деревьев во всем лесу
.
Выборочный средний диаметр деревьев
.
Предельная ошибка среднего диаметра
.
При доверительной вероятности P = 0,683 табличное значение коэффициента доверия t = 1.
Выборочная дисперсия диаметра деревьев
.
Итерационную часть расчетов представим в таблице 8.3.
Таблица 8.3
|
|
|
|
|
20 |
25 |
500 |
400 |
8000 |
40 |
55 |
2200 |
1600 |
64000 |
60 |
10 |
600 |
3600 |
216000 |
80 |
5 |
400 |
6400 |
512000 |
100 |
5 |
500 |
10000 |
1000000 |
Итого |
100 |
4200 |
– |
1800000 |
Согласно данным итоговой строке таблицы 8.3:
см;
;
≈ 12,7 см;
= 29,3; 54,7 см.
Таким образом, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что средний диаметр деревьев в лесу находится в пределах от 29,3 до 54,7 см.
При большом объёме выборочной совокупности механическое наблюдение близко к бесповторному собственно-случайному отбору. Действительно, если, например, совокупность людей большого объема предварительно упорядочить по их фамилиям в алфавитном порядке и отобрать каждого k-го человека, то нельзя заранее узнать, кто из первоначальной неупорядоченной совокупности попадет в выборку, а кто – нет. Следовательно, по своей сути такой отбор будет носить случайный характер, но с той лишь разницей, что он всегда будет бесповторным. Поэтому для механической выборки могут быть применены формулы расчёта средней ошибки бесповторной собственно-случайной выборки.
Пример 8.2. Статистическим управлением города для изучения общественного мнения о работе городской администрации в порядке механического отбора было опрошено 6400 чел., что составило 2 % населения города. Из числа опрошенных 3840 чел. положительно оценили работу администрации. Определим с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится доля городского населения, положительно оценивающего работу администрации.
Решение.
Границы доли населения, положительно оценивающего работу администрации
.
Выборочная доля населения
.
Предельная ошибка доли населения
.
При доверительной вероятности Р = 0,954 табличное значение коэффициента доверия t = 2.
Поскольку доля опрошенных людей от всего населения города составила 2 %, то
.
Тогда
≈ 0,012;
0,588;
0,612.
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что от 58,8 до 61,2 % населения города положительно оценивают работу городской администрации.
При типическом наблюдении средняя ошибка выборки определяется по следующим формулам:
при повторном отборе
;
;
при бесповторном отборе
где:
– среднее
значение внутригрупповых выборочных
дисперсий;
– среднее
значение внутригрупповых выборочных
дисперсий доли.
Условием применения этих формул является пропорциональный отбор единиц в типические группы, основанный на выполнении условия
,
где:
ni, Ni – число единиц в i-ой выборочной и i-ой генеральной типических группах.
Пример 8.3. С целью выявления удельного веса простоев из-за несвоевременного поступления на предприятие комплектующих изделий было проведено одномоментное выборочное наблюдение рабочих трёх цехов на основе 20%-го случайного бесповторного отбора. Результаты наблюдения представлены в таблице 8.4.
Таблица 8.4
№ цеха |
Объём выборки, чел. |
Удельный вес простоев |
1 |
34 |
0,15 |
2 |
36 |
0,10 |
3 |
30 |
0,08 |
Итого |
100 |
– |
Определим с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится удельный вес простоев рабочих из-за несвоевременного поступления комплектующих на предприятие в целом.
Решение.
Имеет место типический бесповторный отбор рабочих (номер цеха – это типологический признак рабочего).
Пределы удельного веса простоев
.
Общий удельный вес простоев
.
Предельная ошибка удельного веса простоев
.
Среднее значение внутригрупповых дисперсий удельного веса простоев
≈ 0,098.
При доверительной вероятности Р = 0,997 табличное значение коэффициента доверия t = 3.
Доля опрошенных рабочих в каждом цехе и, следовательно, на всем предприятии составила 20%, поэтому
.
Тогда
;
0,027; 0,185.
Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что удельный вес простоев рабочих из-за несвоевременного поступления комплектующих на предприятие в целом находится в пределах от 0,027 до 0,185.
Пример 8.4. В таблице 8.5 представлены результаты выборочного 10%-го механического наблюдения предприятий отрасли, сгруппированных по форме собственности и величине фондовооруженности. Определим с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится среднее значение фондовооруженности предприятий отрасли.
Таблица 8.5
Форма собственности предприятия |
Фондовооруженность, тыс. руб./чел. |
Итого |
||
500 – 1000 |
1000 – 1500 |
1500 – 2000 |
||
Хозяйственные товарищества |
10 |
15 |
25 |
50 |
Производственные кооперативы |
5 |
10 |
5 |
20 |
Государственные (муниципальные) унитарные предприятия |
15 |
20 |
35 |
70 |
Итого |
30 |
45 |
65 |
140 |
Решение.
Имеет место типический механический отбор (отбираемые предприятия предварительно сгруппированы в типические группы по форме собственности).
Пределы средней фондовооруженности
.
Выборочная средняя фондовооруженность
тыс. руб./чел.
Предельная ошибка средней фондовооруженности
.
Среднее значение внутригрупповых дисперсий фондовооруженности
,
где
,
– число предприятий и дисперсия их
фондовооруженности в рамках j-ой
группы.
Внутригрупповые дисперсии фондовооруженности
.
Внутригрупповые средние значения фондовооружённости:
;
тыс. руб./чел.;
тыс. руб./чел.;
≈ 1393 тыс. руб./чел.
Тогда:
;
;
≈ 157765;
≈ 151204.
При доверительной вероятности P = 0,954 табличное значение коэффициента доверия: t = 2.
Доля предприятий отрасли, попавших в выборку, составляет 10%, поэтому
.
Тогда:
≈ 62 тыс. руб./чел.;
=
1313; 1437 тыс. руб./чел.
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднее значение фондовооруженности предприятий отрасли находится в пределах от 1313 до 1437 тыс. руб./чел.
При серийном наблюдении для расчета средней ошибки выборки используют следующие формулы:
при повторном отборе
;
;
при бесповторном отборе
;
,
где:
– межсерийная
выборочная дисперсия;
– межсерийная
выборочная дисперсия доли;
r – число отобранных серий;
R – число серий в генеральной совокупности.
Пример 8.5. С целью проверки качества радиоэлектронной продукции из двадцати равновеликих партий микросхем случайным бесповторным образом отобрали пять партий. В каждой из них подвергли проверке все микросхемы. В результате проверки доля бракованных микросхем в отдельных партиях составила 5; 6; 4; 2 и 3 % соответственно. Определим с вероятностью 0,997, в каких пределах находится доля бракованных микросхем во всех двадцати партиях.
Решение.
Имеет место серийный бесповторный отбор.
Границы генеральной доли бракованных микросхем
.
Общая выборочная доля бракованных микросхем
.
Предельная ошибка выборочной доли бракованных микросхем
.
Поскольку доверительная вероятность P = 0,997, то t = 3.
Межсерийная дисперсия доли бракованных микросхем
.
Тогда
;
0,024; 0,056.
Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля бракованных микросхем в целом во всех партиях находится в пределах от 2,4 до 5,6 %.
Пример 8.6. Для оценки качества работы конвейерной машины по расфасовке сахарного песка подвергли сплошному наблюдению упаковки сахарного песка в трёх контейнерах одинакового объёма. Эти контейнеры были отобраны механическим образом из девяти имеющихся в наличии. В результате наблюдения была определена средняя масса одной упаковки сахарного песка в каждом контейнере. Её величина составила соответственно 995; 1050, 1010 грамм. Определим с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится средняя масса упаковки сахарного песка во всех девяти контейнерах.
Решение.
Границы средней массы одной упаковки
.
Общая выборочная средняя масса одной упаковки
г.
Предельная ошибка средней массы одной упаковки
.
При доверительной вероятности P = 0,954 коэффициент доверия t = 2.
Межсерийная дисперсия средней массы одной упаковки
.
Тогда:
г;
= 985; 1051 г.
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя масса одной упаковки сахарного песка во всех имеющихся в наличии контейнерах находится в пределах от 985 до 1051 г.