Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ ВПО «Российский государственный

профессионально-педагогический университет»

Инженерно-педагогический институт

Кафедра высшей математики

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

_____________В.А.Сидоров

_____________2007 г.

4517

ЗАДАНИЯ И УКАЗАНИЯ

для выполнения контрольной работы по дисциплине

«Экономико-математические методы» (ГОС – 2000)

для студентов всех форм обучения специальности

080503 – Антикризисное управление (351000)

Екатеринбург 2007

Задания и указания для выполнения контрольной работы по дисциплине «Экономико-математические методы». (ГОС-2000).

Екатеринбург: ГОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет», 2007, 20 с.

Настоящие задания и указания для выполнения контрольной работы составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом специальности 080503 – Антикризисное управление (351000).

Составители: канд. физ.-мат. наук доц. Л.С.Чебыкин,

канд. физ.-мат. наук доц. В.А.Реймер,

ст. преподаватель Т.А.Серова

Одобрено на заседании кафедры высшей математики

протокол № 5 от 25.01.2007.

Заведующий кафедрой Е.А. Перминов

Рекомендовано к печати методической комиссией машиностроительного факультета ИПИ РГППУ.

Протокол №____________от___________02.2007.

Председатель методической

комиссии МСФ ИПИ РГППУ А.Б. Чуркин

© ГОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет», 2007.

Указания к выполнению контрольной работы

Цель контрольной работы – закрепление и проверка знаний, полученных студентами в ходе аудиторных занятий, а также в процессе самостоятельного изучения учебного материала, проверка их умения применять на практике методы решения стандартных задач экономики математическими методами.

Каждый студент заочной формы обучения должен выполнить все задачи своего варианта.

При выполнении контрольной работы необходимо руководствоваться следующими требованиями:

1. Вариант контрольной работы выбирается по последней цифре номера зачетной книжки (студенческого билета). Например, если последняя цифра зачетной книжки 7, необходимо в контрольной работе решить задачи седьмого варианта: 1.7, 2.7, 3.7, 4.7, 5.7, 6.7, 7.7. Цифра "0" соответствует варианту 10.

2. В начале работы должен быть указан номер варианта задания.

3. Перед решением задачи должно быть приведено ее условие.

4. Решение задач следует сопровождать необходимыми формулами, развернутыми расчетами и краткими пояснениями.

5. В конце работы должна стоять подпись студента с указанием даты ее выполнения.

6. На титульном листе контрольной работы необходимо указать фамилию, имя, отчество студента, номер группы с указанием формы обучения, дисциплину, номер варианта контрольной работы и номер зачетной книжки.

Контрольные задания

Задача 1. (Условный экстремум: задача нелинейного программирования при ограничениях типа равенств)

На развитие двух предприятий, входящих в производственное объединение, выделено 2 млн. руб. Если первому предприятию выдать млн. руб., то прибыль, полученная от этого предприятия, будет равна f( ). Если млн. руб. выдать второму, то прибыль от него будет равна f( ).

Как следует распределить средства между предприятиями, чтобы суммарная прибыль была бы максимальной?

Решить задачу методом множителей Лагранжа. Данные для каждого из вариантов приведены в таблице:

№ задачи	f( )	f( )
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.

Задача 2. (Формирование оптимального портфеля ценных бумаг)

На финансовом рынке имеются три вида ценных бумаг: безрисковые, ожидаемой эффективности , и два вида некоррелирован­ных рисковых, ожидаемых эффективностей и , с рисками и соответственно.

Требуется решить задачу Тобина формирования оптимального портфеля ценных бумаг минимального риска заданной эффективности .

Как устроена рисковая часть оптимального портфеля?

С какими ценными бума­гами и при какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в проведении операции "короткой продажи" ("short sale"). Исходные данные заданы таблицей:

№ задачи
2.1.	1	3	8	3	10
2.2.	3	5	9	3	6
2.3.	1	3	8	4	8
2.4.	3	5	9	4	6
2.5.	1	3	8	4	10
2.6.	3	5	9	4	8
2.7.	1	3	8	5	8
2.8.	3	5	9	6	8
2.9.	2	4	6	5	10
2.10.	4	6	10	6	10

Задача 3. (Задача линейного программирования)

3.1. Для изготовления двух видов изделий используются три вида сырья. Общее количество сырья, расход (кг) на изготовление единицы изделия и цена единицы каждого изделия представлены в таблице:

Сырье	Вид изделия		Запасы сырья
	B1	B2
А1	4	3	120
А2	4	10	200
А3	0	15	180
Цена единицы изделия (тыс. руб.)	5	6

Составить оптимальный план производства изделий B₁ и B₂, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

Решить задачу графическим методом и симплекс-методом.

3.2. На трех станках обрабатываются два вида изделий. Каждое изделие проходит обработку на станках А₁, А₂, А₃. В таблице задана трудоемкость обработки каждого изделия на каждом станке, фонд полезного времени работы станков и отпускная цена единицы изделия.

Станки	Вид изделия		Фонд времени
	B1	B2
А1	4	2	48
А2	0	3	36
А3	2	2	40
Цена единицы изделия (тыс. руб.)	15	12

Найти план производства изделий, обеспечивающий выполнение плана не менее, чем на 120 тыс. руб. при наименьшей загрузке оборудования

Решить задачу графическим методом и симплекс-методом.

3.3. На четырех станках обрабатывается два вида изделий. Каждое изделие проходит обработку на каждом станке. В таблице задана трудоемкость обработки одного изделия и фонд полезного времени работы станков.

Станки	Вид изделия		Фонд времени
	B1	B2
А1	5	7	70
А2	2	1	18
А3	0	2	16
А4	1	0	8

Составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную загрузку станков.

Решить задачу графическим методом и симплекс-методом.

3.4. Предприятие изготавливает два вида изделий. Каждое изделие требует обработки на трех видах оборудования. В таблице приведены прибыль, получаемая от реализации каждого изделия, трудоемкость обработки изделий и фонд времени работы оборудования.

Станки	Вид изделия		Фонд времени
	B1	B2
А1	3	8	24
А2	2	7	14
А3	0	12	24
Прибыль (тыс. руб.)	2	3

Сколько нужно изготовить тех или иных изделий, чтобы прибыль была наибольшей?

Решить задачу графическим методом и симплекс-методом.

3.5. Трикотажная фабрика использует для производства свитеров и кофточек чистую шерсть, силон и нитрон, запасы которых составляют соответственно 900, 400 и 300 кг. Количество пряжи каждого вида (кг), необходимой для изготовления 10 изделий, а также прибыль, получаемая от их реализации, приведены в таблице.

Вид сырья	Запасы пряжи на 10 шт.
	Свитер	Кофточка
Шерсть	4	2
Силон	2	1
Нитрон	1	1
Прибыль (тыс. руб.)	6	5

Составить план производства изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли.

Решить задачу графическим методом и симплекс-методом.

3.6. Для производства двух видов продукции в цехе используется три группы оборудования. Нормы затрат времени на один комплект изделий, фонд времени работы оборудования, а так же прибыль, получаемая от единицы продукции, приведены в таблице:

Оборудование	Норма затрат времени на один комплект изделий, ст.-ч / ед.		Фонд работы оборудования, станко-часы
	Продукция первого вида	Продукция второго вида
А	2	2	14
Б	1	2	9
В	0	4	16
Прибыль (тыс. руб.)	2	3

Определить вариант загрузки оборудования, обеспечивающий максимальную прибыль от реализации продукции.

Решить задачу графическим методом и симплекс-методом.

3.7. Для изготовления двух видов продуктов А₁ и А₂ используются три вида сырья: В₁, В₂ и В₃. Расход сырья для изготовления 1 кг. продуктов и запасы (кг) приведены в таблице. Составить план производства, обеспечивающий максимальный по стоимости выпуск продукции.

Сырье	Норма расхода сырья на одно изделие, кг		Запасы сырья, кг
	А1	А2
B1	4	2	32
B2	2	3	32
B3	2	4	36
Цена 1 кг продукта (тыс. руб.)	5	8

Решить задачу графическим методом и симплекс-методом.

3.8. Для откорма крупного рогатого скота используется два вида кормов B₁ и B₂, в которые входят питательные вещества А₁, А₂, А₃ и А₄. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг. каждого вида корма, стоимость 1 кг. корма и норма содержания питательных веществ в дневном рационе животного представлены в таблице.

Питательные вещества	Вид кормов		Норма содержания питательных веществ
	B1	B2
А1	3	4	24
А2	1	2	18
А3	4	0	20
А4	0	1	6
Стоимость 1 кг. корма (руб.)	2	1

Составить рацион при условии минимальной стоимости.

Решить задачу графическим методом и симплекс-методом.

3.9. Предприятие располагает производственными мощностями (в часах) четырех видов в следующем количестве:

А₁=16, А₂=10, А₃=6, А₄=7.

Норма затрат мощностей каждого вида составляет на единицу продукции №1: 2, 1, 0, 1; на единицу продукции №2: 1, 1, 1, 0 (соответственно). Прибыль от реализации единицы продукции №1 равна 3 тыс. руб., от единицы продукции вида №2 равна 4 тыс. руб. Составить план производства, при котором прибыль предприятия от реализации всей продукции будет максимальной.

Решить задачу графическим методом и симплекс-методом.

3.10. На приобретение оборудования для нового производственного участка выделено 20 млн. руб. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 72 кв. м. Предприятие может заказать оборудование двух видов: более мощные машина типа А, стоимостью 5 млн. руб., требующие 6 кв. м. производственной площади и дающие 8 тыс. единиц продукции за смену. И менее мощные машины типа Б, стоимостью 2 млн. руб., занимающие площадь 12 кв. м и дающие за смену 3 тыс. единиц продукции. Найти оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий максимум общей производительности нового участка.

Решить задачу графическим методом и симплекс-методом.

Задача 4. (Транспортная задача)

В приведенных ниже таблицах указаны запасы (в тоннах) однородного сыпучего груза у поставщиков (А₁, А₂, А₃) и спрос на него потребителей (В₁, В₂, В₃, В₄), а также элементы матрицы тарифов (стоимость перевозки единицы груза из пункта A_i в пункт B_j).

Требуется составить математическую модель транспортной задачи. Найти оптимальный план перевозок груза, так, чтобы весь груз был вывезен, потребительский спрос удовлетворен, а суммарная стоимость перевозок была бы наименьшей.

4.1.

Поставщики и их запасы		Потребители и потребительский спрос
		В1	В2	В3	В4
		140	100	80	50
А1	90	4	6	8	12
А2	120	10	5	7	4
А3	160	15	9	13	8

4.2.

Поставщики и их запасы		Потребители и потребительский спрос
		В1	В2	В3	В4
		120	60	80	60
А1	90	11	3	7	14
А2	160	7	3	6	9
А3	70	9	4	8	11

4.3.

Поставщики и их запасы		Потребители и потребительский спрос
		В1	В2	В3	В4
		95	65	65	65
А1	120	9	4	5	6
А2	70	2	3	6	11
А3	100	4	9	8	3

4.4.

Поставщики и их запасы		Потребители и потребительский спрос
		В1	В2	В3	В4
		20	25	30	15
А1	40	4	5	1	2
А2	20	3	4	7	8
А3	30	2	6	9	3

4.5.

Поставщики и их запасы		Потребители и потребительский спрос
		В1	В2	В3	В4
		75	125	34	35
А1	85	7	1	4	5
А2	112	13	4	7	6
А3	72	3	8	0	18

4.6.

Поставщики и их запасы		Потребители и потребительский спрос
		В1	В2	В3	В4
		10	18	16	21
А1	20	3	2	4	1
А2	30	7	3	6	4
А3	15	8	5	2	3

4.7.

Поставщики и их запасы		Потребители и потребительский спрос
		В1	В2	В3	В4
		10	25	58	37
А1	20	3	1	2	4
А2	40	5	4	1	3
А3	70	2	6	4	1

4.8.

Поставщики и их запасы		Потребители и потребительский спрос
		В1	В2	В3	В4
		100	120	105	105
А1	150	7	2	11	5
А2	170	8	4	3	6
А3	110	3	5	10	7

4.9.

Поставщики и их запасы		Потребители и потребительский спрос
		В1	В2	В3	В4
		30	34	22	22
А1	50	2	1	3	6
А2	38	10	11	5	7
А3	20	3	4	2	4

4.10.

Поставщики и их запасы		Потребители и потребительский спрос
		В1	В2	В3	В4
		35	35	45	30
А1	40	3	2	4	1
А2	50	2	3	1	5
А3	55	3	2	4	5

Задача 5. (Модель Неймана расширяющейся экономики)

В линейной модели Неймана расширяющейся экономики заданы матрица затрат А и матрица выпуска В (строки матриц соответствуют производимым продуктам, а столбцы - технологическим процессам).

Требуется найти максимальный темп технологического и экономического роста, оптимальный вектор интенсивностей производственных процессов, луч Неймана и оптимальный вектор цен (с точностью до положительного множителя).

Задача 6. (Оптимальное распределение капиталовложений)

В производственное объединение входят четыре предприятия. Прирост выпуска продукции каждого из них в зависимости от величины выделенных предприятию капиталовложений указан (в условных единицах) в приведенных ниже таблицах. Составить оптимальный план распределения капиталовложений между четырьмя предприятиями, обеспечивающий максимальное увеличение выпуска продукции всего производственного объединения. Капиталовложения каждому предприятию могут быть выделены только в объемах, указанных в таблицах, и общий объем капиталовложений составляет S усл. ед. Решить задачу о распределении ресурсов методом динамического программирования.

1. S=100 усл. ед.

Объем капиталовложений	Прирост выпуска продукции в зависимости от объема капиталовложений
	Предпр.1	Предпр.2	Предпр.3	Предпр.4
0	0	0	0	0
20	12	14	13	18
40	33	28	38	39
60	44	38	47	48
80	64	56	62	65
100	78	80	79	82

6.2. 200 усл. ед.

Объем капиталовложений	Прирост выпуска продукции в зависимости от объема капиталовложений
	Предпр.1	Предпр.2	Предпр.3	Предпр.4
0	0	0	0	0
40	12	14	13	18
80	33	28	38	39
120	44	38	47	48
160	64	56	62	65
200	78	80	79	82

6.3. 100 усл. ед.

Объем капиталовложений	Прирост выпуска продукции в зависимости от объема капиталовложений
	Предпр.1	Предпр.2	Предпр.3	Предпр.4
0	0	0	0	0
20	12	14	13	18
40	33	28	38	39
60	44	38	47	48
80	64	56	62	65
100	78	80	79	82

6.4. 200 усл. ед.

Объем капиталовложений	Прирост выпуска продукции в зависимости от объема капиталовложений
	Предпр.1	Предпр.2	Предпр.3	Предпр.4
0	0	0	0	0
40	12	14	13	18
80	33	28	38	39
120	44	38	47	48
160	64	56	62	65
200	78	80	79	82

6.5. 100 усл. ед.

Объем капиталовложений	Прирост выпуска продукции в зависимости от объема капиталовложений
	Предпр.1	Предпр.2	Предпр.3	Предпр.4
0	0	0	0	0
20	12	14	13	18
40	33	28	38	39
60	44	38	47	48
80	64	56	62	65
100	78	80	79	82

6.6. 200 усл. ед.

Объем капиталовложений	Прирост выпуска продукции в зависимости от объема капиталовложений
	Предпр.1	Предпр.2	Предпр.3	Предпр.4
0	0	0	0	0
40	12	14	13	18
80	33	28	38	39
120	44	38	47	48
160	64	56	62	65
200	78	80	79	82

6.7. 100 усл. ед.

Объем капиталовложений	Прирост выпуска продукции в зависимости от объема капиталовложений
	Предпр.1	Предпр.2	Предпр.3	Предпр.4
0	0	0	0	0
20	12	14	13	18
40	33	28	38	39
60	44	38	47	48
80	64	56	62	65
100	78	80	79	82

6.8. 200 усл. ед.

Объем капиталовложений	Прирост выпуска продукции в зависимости от объема капиталовложений
	Предпр.1	Предпр.2	Предпр.3	Предпр.4
0	0	0	0	0
40	12	14	13	18
80	33	28	38	39
120	44	38	47	48
160	64	56	62	65
200	78	80	79	82

6.9. 100 усл. ед.

Объем капиталовложений	Прирост выпуска продукции в зависимости от объема капиталовложений
	Предпр.1	Предпр.2	Предпр.3	Предпр.4
0	0	0	0	0
20	12	14	13	18
40	33	28	38	39
60	44	38	47	48
80	64	56	62	65
100	78	80	79	82

6.10. 200 усл. ед.

Объем капиталовложений	Прирост выпуска продукции в зависимости от объема капиталовложений
	Предпр.1	Предпр.2	Предпр.3	Предпр.4
0	0	0	0	0
40	12	14	13	18
80	33	28	38	39
120	44	38	47	48
160	64	56	62	65
200	78	80	79	82

Задача 7. (Динамическая задача управления запасами)

Предприятие производит партиями некоторые изделия. Оно получило заказы на квартал (три месяца - три этапа). Размер заказа меняется от месяца к месяцу. Поэтому иногда выгоднее выполнять одной партией заказы нескольких месяцев, а затем хранить изделия (пока они не потребуются), чем выполнять заказ именно в тот месяц, когда этот заказ должен быть отправлен потребителю. Если месячный заказ не превосходит s, то затраты на изготовление изделия равны (s). Если месячный заказ превосходит s, то затраты на приобретение изделия на стороне равны .

Исходные данные задачи приведены в таблице:

d1	d2	d3	(s)
A1	A2	A3	
h1	h2	h3	

где d_j – спрос на этапе j;

A_j – затраты на оформление заказа на этапе j;

h _j – затраты на хранение единицы заказа на этапе j;

(s) – затраты на приобретение единицы продукции,

если закупается не более s единиц;

 – затраты на приобретение дополнительной единицы продукции,

если закупается более s единиц;

 – начальный уровень запаса для первого этапа.

Требуется составить план производства на квартал с учетом затрат на хранение продукции, обеспечивающий наименьшие суммарные затраты на производство и хранение.

7.1.

d1=7	d2=3	d3=5	(s)=1(4)
A1=7	A2=7	A3=5	=2
h1=1	h2=1	h3=1	=0

7.2.

d1=7	d2=5	d3=4	(s)=2(3)
A1=5	A2=7	A3=6	=5
h1=3	h2=2	h3=4	=1

7.3.

d1=3	d2=2	d3=2	(s)=8(2)
A1=8	A2=4	A3=7	=10
h1=7	h2=4	h3=6	=2

7.4.

d1=7	d2=6	d3=3	(s)=7(3)
A1=8	A2=6	A3=3	=10
h1=2	h2=2	h3=1	=3

7.5.

d1=8	d2=5	d3=4	(s)=5(5)
A1=5	A2=5	A3=6	=15
h1=3	h2=2	h3=1	=4

7.6.

d1=2	d2=1	d3=6	(s)=2(2)
A1=6	A2=6	A3=4	=4
h1=1	h2=1	h3=2	=0

7.7.

d1=4	d2=2	d3=7	(s)=1(3)
A1=4	A2=6	A3=8	=2
h1=2	h2=1	h3=2	=1

7.8.

d1=8	d2=4	d3=3	(s)=5(5)
A1=4	A2=4	A3=2	=10
h1=1	h2=2	h3=4	=2

7.9.

d1=8	d2=4	d3=5	(s)=5(3)
A1=4	A2=2	A3=6	=20
h1=2	h2=3	h3=1	=3

7.10.

d1=1	d2=3	d3=6	(s)=5(2)
A1=8	A2=7	A3=6	=7
h1=1	h2=3	h3=2	=0

ЗАДАНИЯ И УКАЗАНИЯ

для выполнения контрольной работы по дисциплине

«Экономико-математические методы» (ГОС – 2000)

Для студентов всех форм обучения специальности