Соответствие.

4. 1 Понятие о соответствии.

Соответствием f между элементами множеств Х и Y называют упорядоченную пару множеств (X Y, G_f), где G_f X Y.

Множество Х называют областью отправления, множество Y - обла­стью прибытия, а множество - G_f - графиком этого соответствия.

Из определения следует, что для задания соответствия между эле­ментами множеств Х и Y необходимо указать декартово произведение этих множеств и график G_f, который состоит из пар элементов, нахо­дящихся в этом соответствии.

Областью определения соответствия f =(X Y, G_f) называется множество тех элементов первого множества (области от­правления), которым соответствуют элементы второго множества (области прибытия).

Множеством значений соответствия f =(X Y, G_f) на­зывается множество элементов из второго множества Y (области при­бытия), которые поставлены в соответствие некоторым элементам первого множества Х (области отправления).

Пусть f - некоторое соответствие между элементами множеств Х и Y. Полным образом элемента а из множества Х называется множество всех элементов у из множества Y, таких, что afy. Полным прообразом элемента b из множества Y называется множество всех элементов х из множества X, таких, что xfb.

Пусть Р - некоторое соответствие между элементами множеств Х и Y. Обратным ему называют соответствие Р^-1 между элементами мно­жеств Y и X, такое, что уР^-1х в том и только в том случае, когда хРу.

Соответствие Р¹ между множествами Х и Y называется противопо­ложным соответствию Р, если оно является дополнением соответствия Р до декартова произведения Х Y.

Пример. Отрезки, изображенные на рисунке являются графиком соответствия Р, заданного на множестве действительных чисел. Определите область определения и множество значения данного соответствия.

Решение. По чертежу видно, что все абсциссы точек графика соответствия Р принадлежат промежутку [-3,1], а ординаты принад- лежат множеству {1,3}. Множество [-3, 1] есть область определения соотве­тствия Р, а множество {1, 3} - множество значений соответствия Р.

Упражнение 11.

1. Пусть Х - множество столов в аудитории.

Y - множество студентов.

Через xRy обозначим соответствие "за столом а сидит студент в". Что обозначают множества R(a) и R^-1(b)? Когда R(a) = Æ ?

2. Соответствие R между множествами Х и Y задано при помощи гра­фа. Укажите: а) область отправления, б) область прибытия, в) область определения, г) множество значений, д) график.

3. Даны множества Х ={ 2, 4, 6} и Y ={ 3, 5, 7}. Соответствие R меж­ду множествами X и Y таково: "число х больше числа у". Постройте граф этого соответствия. Постройте графы противоположного и об­ратного соответствия.

4. Дана таблица. Заштрихуйте клетки, стоящие на пересечении таких столбцов А и строк В, что число А кратно В. Что представляет собой множество заштрихованных клеток?

5. Для следующих соответствий сформулируйте противоположные и обратные:

а) точка А лежит на прямой В,

б) число А является корнем уравнения В,

в) число А больше числа В,

г) прямая А пересекает прямую В.

6. Даны два множества А ={-1, -2,-3, 0, 1, 2, 3} и N- множество нату­ральных чисел. Постройте граф соответствия "каждому числу из мно­жества А соответствует его квадрат".

7. Соответствие между множествами А и В задано при помощи графа. Изобразите график соответствия в прямоугольной системе координат. Постройте график обратного и противоположного соответствия.

8. Даны множества Х = {xÎZ, -3£х<0}, Y=Z.

Каждому значению х ÎХ поставим в соответствие такое значение у ÎY, которое на 3 больше этого х. Перечислите элементы, принадле­жащие графику соответствия и изобразите его в прямоугольной сис­теме координат. Сформулируйте обратное и противоположное соот­ветствие.

9. Соответствие между множествами С ={1, 2,3,4,5} и D ={5, 6, 7} таково, что его график состоит из пар, в которых первая компонента взята из множества С, а вторая - из D и больше первой компоненты. Постройте графики этого соответствия и соответствий обратного и противоположного данному.