4.2 Виды соответствий.

Соответствие f = (X ×Y, G_f) называется всюду опреде­ленным, если область определения совпадает с первым множеством (областью отправления), т. е. c X.

На графе такого соответствия от каждого элемента первого множества отходит хотя бы одна стрелка.

Соответствие f = (X ×Y, G_f) называется сюърективным, если его множество значений совпадает со вторым множеством, т. е. с Y.

На графе такого соответствия к каждому элементу второго множества подходит хотя бы одна стрелка.

Соответствие f = (X ×Y, G_f) называется функциональным, если каждому элементу области определения Х соответствует не более одного элемента множества значений Y.

Из этого определения следует, что каждому элементу первого множества либо соответствует только один элемент второго множества, либо не соответствует ни один элемент из второго множества.

Если начертить граф функционального соответствия, то от каждого элемента первого множества, если будет отходить, то только одна стрелка.

Среди всех функциональных соответствий выделяют всюду определенные соответствия. Такие функциональные и всюду определенные соответствия называют отображениями множеств.

Соответствие f = (X ×Y, G_f) называется инъективным, если каждый элемент множества Y является образом не более одного элемента из Х.

При инъективном отображении различным элементам из области определения Х соответствуют различные элементы в области значений Y.

На графе такого соответствия ни к какому элементу второго множества не подходят более одной стрелки (т. е. либо одна, либо ни одной). График такого соответствия не содержит пар с разными первыми и одинаковыми вторыми элементами.

Соответствие между элементами множеств X и Y называется взаимно однозначным, если это соответствие является отображением и выполнены следующие два условия:

1) любым двум различным элементам множества Х соответствуют различные элементы множества Y;

2) любой элемент множества Y поставлен в соответствие хотя бы одному элементу из множества Х.

Если между множествами А и B можно установить взаимно однозначное соответствие, то такие множества называются равномощными. Обозначается символом A~B.

Пример. Рассмотрим множество Х – пальто и множество Y – номера в гардеробе. Каждому пальто поставим в соответствие номер, на крючке которого оно висит. Это соответствие функциональное (одно пальто не может висеть на двух номерах, но на одном крючке могут висеть два пальто). Может кто-то не сдаст пальто в гардероб, тогда этому пальто не будет соответствовать никакой номер (т. е. это пальто не будет входить в область определения этого функционального соответствия). Множеством значений является множество тех крючков (номеров), на которых висят пальто. Если остались крючки, на которых не висят пальто, то это соответствие не сюръективно.

Упражнение 12.

1. Х – множество однозначных чисел, Y = {0, 1}. Поставим в соответствие каждому хÎХ его остаток от деления на 2. Является ли это соответствие отображением?

2. Между элементами множеств X и Y задано соответствие «быть делителем». Установите, каков его вид, если:

а) X = {2, 3, 5, 7}, Y{15, 28, 37};

б) X = {2, 3, 5, 7}, Y{15, 21, 30};

в) X = {2, 3, 5, 7}, Y{4, 25, 21}.

3. Какое из заданных соответствий является отображением?

4. Можно ли задать отображение следующим образом: множество Х состоит из отрезков, а множество Y из треугольников. Каждому отрезку ставится в соответствие треугольник, для которого этот отрезок является средней линией? Что можно сказать об обратном соответствии?

5. Множество Х состоит из всех квадратов на плоскости, а множество Y – из всех окружностей на той же плоскости. Поставим в соответствие каждому квадрату вписанную в него окружность. Каков вид данного соответствия? Что можно сказать об обратном соответствии?

6. Поставьте между следующими парами множеств знаки «=» или «~».

а) А – множество сторон треугольника, В – множество углов треугольника;

б) А – множество букв в слове «колос», В = {о, к, с, л};

в) А – множество колец на пне дерева, В – множество лет, прожитых данным деревом;

г) А – множество коэффициентов многочлена х³ + 2х² + 3х + 8, В – множество цифр числа 123.

7. Являются ли соответствия, заданные на множестве людей, отображениями, если соответствие задано следующим образом:

а) «человек х сын человека у»,

б) «человек х отец человека у»,

в) «человеку х ставится в соответствие его мать у».

8. Соответствие «фигура х имеет площадь у» задано на множестве М – геометрических фигур. Является ли данное соответствие отображением? Можно ли определить сюръективность или инъективность данного соответствия?

9. Постройте в прямоугольной системе координат графики соответствий, если:

а) х = 2у, -5 £ у £ 5, х, уÎR;

б) х + у £ 4, х ³ 0, у ³ 0, х, уÎR;

в) х = 2, -4 < у < 4, х, уÎR;

г) -3 < х £ 3, -2 £ у < 2, х, уÎR;

д) у = 3, -2 < х < 5, х, уÎR;

е) хÎZ, уÎZ, х = 2, -5 < у < 4;

ж) х + у ³ 6, х ³ 0, у > 0, х, уÎR;