- •Часть 1
- •Раздел 3.2 .Модель идеального вытеснения. 40
- •Раздел 3.4. Диффузионная модель 47
- •Раздел 5. Синтез моделей технологических объектов на базе их гидродинамических моделей и уравнений химической кинетики. 124
- •1. Введение. Основные понятия систем
- •1.1.Очень большая система
- •1.2.Общая структура сложных объектов систем и основные этапы моделирования.
- •1.2.1.Формализованное описание.
- •1.2.2.Математическое описание.
- •1.2.3.Моделирующий алгоритм.
- •2. Общие принципы и этапы построения математических моделей систем.
- •2.1. Структурный анализ и структурный синтез сложных технологических систем
- •2.2. Обобщенная структурная модель металлургического процесса.
- •3. Модели структуры потоков для технологических объектов.
- •3.1 Модель идеального перемешивания.
- •Применение преобразования Лапласа для анализа математических моделей.
- •Раздел 3.2 .Модель идеального вытеснения.
- •3.3. Ячеечная модель аппарата
- •Раздел 3.4. Диффузионная модель
- •Стационарный метод определения критерия Пекле.
- •3.5.Комбинированные модели
- •3.5.1.Модель с застойной зоной
- •3.5.2.Модель с байпасным потоком.
- •3.5.3.Последовательное соединение ячеек идеального вытеснения и идеального смешения.
- •3.5.4.Гидродинамические модели многофазных потоков.
- •3.6.Методы определения параметров моделей структуры потоков.
- •3.6.1. Характеристики кривых отклика аппаратов на возмущения с помощью моментов.
- •3.6.2. Связь передаточных функций с моментами кривых
- •3.6.3.Ячеечная модель
- •3.6.4.Диффузионная однопараметрическая модель
- •3.6.5.Вычисление моментов по экспериментальным данным.
- •3.6.6.Определение параметров гидродинамических моделей по экспериментальным данным путем решения обратной задачи методами нелинейного программирования.
- •4. Кинетические модели для описания химических превращений.
- •4.1.Основные закономерности химической кинетики
- •4.2. Методы определения параметров кинетических моделей.
- •4.2.1.Определение констант скорости параллельных реакций:
- •4.3.Определение кинетических констант сложных реакций методами нелинейного программирования.
- •4.4. Кинетика гетерогенных процессов.
- •4.4.1 Типы гетерогенных процессов
- •4.4.2.Основные стадии гетерогенных процессов.
- •4.4.3.Определение области протекания гетерогенного процесса.
- •Влияние формы межфазной поверхности раздела фаз на скорость гетерогенных процессов.
- •Раздел 5. Синтез моделей технологических объектов на базе их гидродинамических моделей и уравнений химической кинетики.
- •5.1. Модель идеального смешения
- •5.2.Модель идеального вытеснения:
- •5.3. Диффузионная модель
- •Литература
3.6.3.Ячеечная модель
Передаточная функция ячеечной модели имеет следующий вид:
(3.6.23)
После дифференцирования и нахождения пределов производных, можно найти следующие соотношения между моментами кривой распределения и параметрами модели:
(3.6.24)
Из выражения для дисперсии видно, что при n дисперсия 20. Это свидетельствует о том, что ячеечная модель при этом стремится к модели идеального вытеснения. Третий центральный момент является величиной положительной, следовательно функция распределения будет иметь правостороннюю асимметрию
(затянутый переходный процесс). На основании полученных формул для М1 и М2 обычно рассчитывают параметры модели ( и n) а третий момент используют для проверки адекватности модели.
3.6.4.Диффузионная однопараметрическая модель
Передаточная функция для аппарата больших размеров, описываемого диффузионной моделью имеет вид:
(3.6.25)
После дифференцирования передаточной функции и выражения моментов кривой распределения через соответствующие производные получим следующие уравнения связи:
(3.6.26)
Сопоставим значения второго момента для диффузионной и ячеечной модели:
Из предыдущего выражения, разрешая его относительно М2, получим:
(3.6.27)
Критерий Пекле равен удвоенному числу ячеек.
С помощью такой процедуры можно получить уравнения связи моментов кривых распределения с параметрами для любых моделей, включая комбинированные. Однако для сложных комбинированных моделей уравнения связи не всегда могут быть выражены в явном виде через моменты кривых распределения.
3.6.5.Вычисление моментов по экспериментальным данным.
Экспериментальная С(t) кривая получается при подаче на вход аппарата импульсного возмущения в виде -функции и представляет собой изменение концентрации трассера во времени (рис. 3.6.1)
Рис.3.6.1. Экспериментальная Сэ(t) кривая . So площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс
Для того, чтобы воспользоваться приведенными выше формулами , необходимо найти соответствие между теоретической С(t) кривой и экспериментальной кривой. Это соответствие устанавливается введением масштабного множителя М таким образом, чтобы выполнялось условие нормировки: т.е.
(3.6.28)
где М0 начальный момент нулевого порядка. Отсюда находим:
(3.6.29)
Таким образом, масштабный множитель М есть площадь, ограниченная Сэ(t) –и осью абсцисс, т.е. S0.
Учитывая полученные выражения, можем записать формулы для расчета моментов по экспериментальной Сэ(t) – кривой. Для начального момента 1-го порядка получим выражение:
(3.6.30)
Для момента любого порядка можно записать:
(3.6.31)
Для нахождения численного значения определенных интегралов используют два метода аппроксимации интегралов – ступенчатый, когда площадь под кривой аппроксимируется суммой площадей прямоугольников (см. рис.3.6.2),
Рис…3.6.2. Метод ступенчатой аппроксимации площади.
или кусочно-линейной аппроксимации, когда площадь под кривой
аппроксимируется суммой площадей соответствующих трапеций, вписанных под кривой (рис.3.6.3).
Рис.3.6.3. Метод линейно - кусочной аппроксимации интеграла
При использовании ступенчатой аппроксимации площадь под кривой вычисляется следующим образом:
(3.6.32)
где n – число интервалов t. Для начального момента 1-го порядка формула принимает вид:
(3.6.33)
Для момента порядка s получим выражение:
(3.6.34)
При ступенчатой аппроксимации Сэ(t) ошибка нарастает по мере возрастания порядка момента, особенно для несимметричных кривых, как это видно из Рис. 3.6.2. Для увеличения точности вычислений применяют кусочно-линейную аппроксимацию, как это показано на Рис.3.6.3. При этом суммарная площадь вычисляется как сумма площадей трапеций, вписанных под экспериментальной Сэ(t) кривой. В этом случае начальный момент нулевого порядка может быть вычислен по формуле:
(3.6.35)
Для нахождения начального момента порядка s воспользуемся соотношением:
(3.6.36)
Тогда для начального момента порядка s получается соотношение:
(3.6.37)
Из полученной общей формулы найдем для момента первого порядка выражение:
; (3.6.38)
После аналогичных преобразований, учитывая формулу для разности кубов, найдем выражение для второго начального момента С(t) –кривой:
(3.6.39)
Таким образом, используя полученные соотношения можно по экспериментально полученным Сэ(t) – кривым рассчитать начальные моменты функции распределения, а по ним рассчитать параметры моделей потоков, описывающих перенос вещества движущейся средой в данном аппарате.
С помощью описанной методики были определены параметры моделей потоков для многих аппаратов. Эти результаты были обобщены в виде критериальных уравнений. Например, для течения в круглых трубах в ламинарном режиме была получена следующая обобщающая зависимость:
(3.6.40)
Для течения в трубе при турбулентном режиме зависимость имеет следующий вид:
(3.6.41)
где - коэффициент трения, зависящий от числа Re и от шероховатости внутренней поверхности трубопровода.
Однако описанная методика определения параметров моделей по экспериментальным кривым отклика, хотя и является общепринятой, имеет некоторые принципиальные недостатки:
Связь моментов кривой распределения с производными от передаточной функции получена в предположении, что входной возмущающий сигнал подается в форме единичного импульса, или -функции. На практике такой входной сигнал реализовать невозможно, а, следовательно, необходимо производить дифференцирование передаточной функции с учетом реального входного сигнала. Это приводит к большим математическим трудностям.
Выходная функция Cэ(t) должна измеряться и интегрироваться при t, так как только при этом условии выполняется предел производной передаточной функции р0 и имеют место полученные уравнения связи между моментами кривой распределения и параметрами гидродинамических моделей. Это условие также трудно реализовать экспериментально, поскольку эксперимент всегда проходит за конечное время, и малые количества трассера трудно регестрировать экспериментально.
Поэтому в последнее время получил распространение другой подход к определению параметров моделей структуры потоков по экспериментальным данным, основанный на общем подходе к задаче идентификации математических моделей на основе методов нелинейного программирования.