Лекция №1 Линейные ду в частных производных второго порядка.

Пусть U(x), x=(x₁, …, x_m), функция, тогда ДУ в частных производных 2^го порядка будет иметь вид: {j,k=1,m}А_jk(х) ²U/х_jх_к + {k=1,m} А_к(х) U/x + А₀(х)U(х)=f(x) (1). А_jk, А_k, А₀, f(x) – заданные функции от х. Будем полагать, что А_jk(х) = А_kj(х) (2). Симметричная матрица А_jk(х) называется матрицей старших коэффициентов.

Классификация уравнений в частных производных 2го порядка.

Уравнения классифицируются в зависимости от собственных значений матрицы старших коэффициентов. Т.к. матрица симметрична, то все значения будут действительными. Зафиксируем некоторую точку х и определим в этой точке значение А_jk. Пусть матрица имеет  положительных собственных значений,  отрицательных собственных значений,  нулевых собственных значений, причём ++=m. Будем говорить, что (1) в точке х принадлежит типу {,,}. Оно будет принадлежать этому типу на некотором точечном множестве, если оно принадлежит этому типу в каждой точке этого множества. Если матрица старших коэффициентов будет постоянной, то тип уравнения будет таким же на всём пространстве. При изменении знака в уравнении (с «+» на «–») тип уравнения не изменяется, т.е. {,,}  {,,}.

1. Тип {m,0,0}  {0,m,0} – эллиптический тип. Все собственные значения отличны от нуля и одного знака.

2. Тип {m-1,0,1}  {0,m-1,1} – параболический тип. Одно нулевое значение и m-1 значение одного знака.

3. Тип {m-1,1,0}  {m-1,1,0} – гиперболический тип. Все собственные значения ненулевые, но одно отличается знаком.

Приведение к каноническому виду.

Пусть дано уравнение (1). Вместо х₁,…, х_m введём новые переменные _r=_r(x₁,…,x_m), r=1,m (4), тогда А_jk(х) ²U/х_jх_к + Ф(…) = f(x). (3) Пусть в некоторой точке х преобразование (4) взаимно однозначно, его якобиан отличен от нуля. Имеет место невырожденное преобразование независимых переменных. Пусть функции _r имеют непрерывные частные производные вплоть до второй. Вычислим вторые производные, сделаем замену и подставим в (3), получим: А_jk_r/x_k _s/x_j ²U/_r_s + Ф₁(…) = 0

А_jk_r/x_k _s/x_j =А_rs (5)

А_rs ²U/_r_s + Ф₁(…) = 0 (6)

Вывод: при преобразовании независимых переменных уравнение (3) переходит в уравнение того же вида.А_rs А_sr

Теорема: Тип уравнения в частных производных (3) не изменяется при невырожденном преобразовании независимых переменных.

Док–во: Пусть некоторая симметричная матрица невырожденными преобразованиями приведена к диагональному виду. Тогда количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений заданной матрицы будет равно количеству положительных, отрицательных и нулевых диагональных элементов. Пусть J матрица преобразования (4). Т.к. якобиан не нуль, то существует J^-1. А_jk_r/x_k _s/x_j =А_rs,А=JAJ^-1 (7), А=Д^-1. Линейное преобразование с матрицей  приводит матрицу А к диагональной форме.А=(J)D(J)^-1 МатрицаА сводится невырожденными преобразованиями к матрице Д, следовательно тип сохраняется.

Пусть _r=j_rkx_k => =Jx (8). Зафиксируем точку х, тогда матрица старших коэффициентов станет матрицей с постоянными коэффициентами, тогда получимА=JAJ^-1.A_jk=0, jk. Тогда в зафиксированной точке х уравнение превратится: {к=1,m}_к ²U/² +Ф(…) =0, где _к=А_кк. Это уравнение второго порядка, где отсутствуют смешанные производные.

Опр. Вид уравнения 2^го порядка, в котором отсутствуют смешанные производные, называется каноническим.

Вывод: уравнение в частных производных 2^го порядка, линейное относительно старших производных, можно в любой точке пространства привести к каноническому виду при помощи линейных невырожденных преобразований независимых переменных.