Уравнения параболического типа.

Они описывают нестационарное распространение тепла и диффузии. U/t = k₀²U/x², k₀ – коэффициент теплопроводности, х(0,L), U(0,t) = T₁, U(L,t) = T₂, U|_t=0=T₀. k₀²U/x² = 0. U(x) = ((T₂ – T₁)/L)*x + T₁. При стационарном процессе потоки тепла, водящие в любое поперечное сечение и выходящие их него, равны между собой. Следовательно, поток должен быть постоянен в любой произвольной точке х. Это означает, что по закону Фурье это достижимо при линейном профиле температуры. W= –gradT. Для уравнения теплопроводности существует тип решений, который имеет вид бегущей волны в стационарных формах. U = f(x–wt) (1). CU/t = /x(kU/x) (2). Подставим (1) в (2), получим: –cwf=(kf) (3). Уравнение (3) это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. f() = A + Bexp{–cw/k },  = x–wt.

Рис

U(x,t) = A+Bexp{(x–wt)*(–cw/k)}, А – это температура на бесконечности, т.е. там, куда тепло ещё не дошло. Прогрев вещества, по которому со скоростью w распространяется вправо тепловая волна. f(x–wt)|_x–wt=0 = U₀.

Общий подход к решению.

Рис.

S – граница , Г состоит из нижнего основания и части боковой поверхности.

Первая краевая задача.

Пусть  конечная область трёхмерного пространства XYZ. Q в пространстве XYZt цилиндр. Рассмотрим задачу: U/t = a²[²U/x² + ²U/y² + ²U/z²] (1), U|_t=0 = f(x,y,z), (x,y,z) (2), U|_s = (p,t), t[0,T] (3).

Теорема (о max (min)): Функция U(x,y,z,t), удовлетворяющая однородному уравнению (1) внутри цилиндра Q_T и непрерывна вплоть до её границы, принимает наибольшее (наименьшее) значение или при t = 0, или на боковой поверхности цилиндра.

Док–во: Пусть М – наибольшее значение функции U в цилиндре Q_T, а m – наибольшее значение функции U на границе Г. Предположим, что существует такое решение U(x,y,z,t), что M>m. Пусть эта функция принимает значение М в точке (x₀, y₀, z₀, t₀), где (x₀, y₀, z₀); t₀[0,T]. Рассмотрим вспомогательную функцию V(x,y,z,t) = U(x,y,z,t) – ((M–m)/6d²)*[(x–x₀)² + (y–y₀)² + (z–z₀)²]; где d – диаметр области . На боковой поверхности цилиндра и на его нижнем основании V(x,y,z,t)  m + (M–m)/6 = M/6 + 5m/6 < M; V(x₀, y₀, z₀, t₀) = M. Следовательно функция V также как и U не принимает наибольшее значение ни на боковой поверхности цилиндра, ни на основании. В силу непрерывности V она должна принимать наибольшее значение в некоторой точке (x,y,z,t), (x,y,z), 0tT. Тогда в этой точке вторые производные ²V/x², ²V/y², ²V/z² не положительны, а V/t  0 => V/t – a²[²V/x² + ²V/y² + ²V/z²]  0 (*). V/t = U/t, ²V/x² + ²V/y² + ²V/z² = ²U/x² + ²U/y² + ²U/z² + (M–m)/d² => V/t – a²[²V/x² + ²V/y² + ²V/z²] = {U/t – a²[²U/x² + ²U/y² + ²U/z²]} – a²(M–m)/d² 0, т.к. величина, стоящая в фигурных скобках равна нулю. Получили противоречие (*).

Следствия:

1. Решение первой краевой задачи (1) – (3) в цилиндре Q_T единственно.

Док–во: если бы имели два решения U₁ и U₂, то U₁ – U₂ = w, удовлетворяющая однородному уравнению, должна была обратиться в нуль при t = 0 или на поверхности S, тогда w|_t=0 = 0 в силу доказанной теоремы. Значит, U₁ = U₂.

2. Решение задачи (1) – (3) непрерывно зависит от правых частей краевых и начальных условий. U|_t=0 = f, U|_s = .

Док–во: Если разность f и  не превосходит по абсолютной величине некоторое , то и разность решений w = U₁ – U₂, w|_t=0 = , w|_s =  по абсолютной величине не превосходит .

Такие задачи относятся к классу задач, корректных по Адамару.