Характеристики.

А_jk_r/x_k _s/x_j = 0 – уравнение, характеризующее дифференциальное уравнение. Допустим нашли функцию , удовлетворяющую этому уравнению. Функция (х₁,…,х_m) = const называется характеристической поверхностью. Она инвариантна при преобразовании независимых переменных.

Приведение к каноническому виду уравнения 2го порядка с двумя независимыми переменными.

АU_хх + 2ВU_ху + СU_УУ + Ф = 0 (*) =В²–АС. >0 – гиперболический тип, =0 – параболический тип, <0 – эллиптический тип. Пусть во всей области определения уравнение (*) таково, что коэффициенты А и С не обращаются в нуль одновременно. Сделаем замену:=(х,у), =(х,у), получим:

АU_ + 2BU_ +CU_ + Ф₁(…)=0 (**), гдеА=А²_х + 2В_х_у + С²_у,С=А²_х + 2В_х_у + С²_у,В=А_х_х + В[_х_у+_х_у] + С_у_у.

Лекция №2 Основные уравнения математической физики. Уравнения колебаний

Такими уравнениями описываются все волновые процессы. d²U/dt² = div(pgradU) – qU + F(x,t) (1), ,р,q – коэффициенты, определяющиеся свойствами среды, F(x,t) – интенсивность внешнего воздействия, х=(х₁, х₂, х₃), t – время. div(pgradU) = {i=1,3}/х_i(рU/x_i). Выведем уравнение (1) на примере малых поперечных колебаний струны.

Опр. Струной называется натянутая нить, не сопротивляющаяся изгибу.

Рис.

Струна в равновесии – ось Ох. Величину отклонения точки х в момент t обозначим U(x,t). U=U(x,t) – уравнение струны в момент времени t. Ограничимся только малыми колебаниями струны. tg=U/x. Т.к. струна не сопротивляется изгибу, то её натяжение Т(х,t) направлено по касательной. Любой участок струны после отклонения от положения равновесия в рамках выбранных ограничений не изменяет своей длины. l  {а,b}[1+(U/x)²]^1/2dx  b–a. В соответствии с законом Гука величина натяжения будет величиной постоянной, не зависящей от х или t. Пусть F(x,t) в точке х в момент времени t направлено ортогонально оси Ох, (х) – линейная плотность, (х)х – масса, |T(x,t)|=T₀. На элемент струны от х до х+х действует сила натяжения Т(х+х,t) – T(x,t) и действует внешняя сила, все эти силы должны быть равны произведению массы на ускорение. Т(x+х,t)–T(x,t)+F(x,t)xe=(x)x²U/t²e. Спроектируем это векторное равенство на ось U. Т₀sin|_x+x– T₀sin|_x + F(x,t)x=(x)x²U/t² (2). sin=tg/(1+tg²)^1/2  tg=U/x (т.к.  достаточно мал). ²U/t² = T₀/x [U(x+x,t)/x – U(x,t)/x] + F(x,t). Устремим х к нулю, тогда получим: ²U/t² = T₀²U/x² + F(x,t). Полагаем свойства среды постоянными: ²U/dt² = a² ²U/x² + f(x,t) (3), где а²=Т₀/, f(x,t)=F(x,t)/. (3) – уравнение поперечных колебаний струны. Если f(x,t)=0, то уравнение становится однородным, а колебания свободными, если f(x,t)0, то колебания вынужденные. Уравнение (3) – одномерное уравнение колебаний струны. Продольные колебания описываются таким же уравнением: S²U/t²=/x(ESU/x) + F(x,t), S – площадь поперечного сечения стержня, Е – модуль Юнга. Начальные условия: U|_t=0, U_t|_t=0 – нужно задать. Если струна ограничена, то необходимо задать физическое поведение концов струны.

1. x(x₀,x_N) U|_x=x0=₁(t) U|_x=xN=₂(t) это краевые условия Дирихле (1^го рода)

2. На конец струны действует заданная сила Т₀U/x|_x=x0=T₀sin|_x=x0=₁(t)  U/t = (t)/T₀ это краевые условия Неймана (2^го рода)

3. Конец струны х₀ упруго закреплён, пусть  – коэффициент жёсткости закрепления, тогда: (ЕU/x + U)_x=x0=0 это краевые условия 3^го рода. Если сказано, что конец жёстко закреплён, значит, =0, т.е. сводится к двум одинаковым условиям.

²U/t² = a² ²U/x² + F(x,t). Матрица старших коэффициентов: diag{1, –a²}=> уравнение гиперболического типа.

=²/х²₁ + ²/х²₂ + ²/х²₃ – оператор Лапласа. _а – оператор Даламбера, _а=²/t² – .

Уравнение диффузии (теплопроводности).

pU/t = div(pgradU) – qU +F(x,t). Пусть U – температура среды. Будем полагать, что среда изотропная. Обозначим (х), с(х), к(х) – плотность, удельная теплоёмкость, коэффициент теплопроводности, тогда в произвольном объёме баланс тепла от t до t+t определяется следующим образом.

Рис.

Тогда по закону Фурье через поверхность S в объем V поступит количество тепла, равное {S}kU/nds t = {S}(kgradU,n)ds t. Перейдём к интегралу по объёму: Q₁ = {V}div(kgradU)dxt. От источника в объёме V возникнет количество тепла Q₂ = {V}F(x,t)dxt. Температура в объёме в промежуток от t до t+t изменится на U(x,t+t) – U(x,t) = tU/t, для этого затрачивается количество тепла Q₃ = {V}cU/tdxt. В силу закона сохранения: Q₃ = Q₁+Q₂. {V}[div(kgradU) + F(x,t) – cU/t]dxt = 0 – это тепловой баланс в объёме V, ограниченном S, за время t.

div(kgradU) + F(x,t) = cU/t

U/t = a² ²U/t² + f(x,t). Матрица старших коэффициентов: diag{0, a²} – уравнение параболического типа. Краевые условия могут быть любыми. Если использовать оператор _а или /t – , то процесс нестационарный. Стационарный случай: U = – f(x) – уравнение Пуассона, U=0 – уравнение Лапласа.

(²/t² – a²)U = f(x,t). Пусть f(x,t) гармоническая функция f(x,t) = a²f(x)e^iwt. Будем искать гармоническое решение U(x,t) = U(x)e^iwt. Подставим u(x,t) в волновое уравнение ²U/t² = –w²U(x)e^iwt

U=U(x)e^iwt

–w²U(x)e^iwt – a² U(x)e^iwt = a² f(x)e^iwt

–U – w²/a²U(x) = f(x), k²=w²/a² – волновое число

U(x) + k²U(x) = –f(x). Для гармонических колебаний уравнение, описывающее амплитуду колебаний, является эллиптическим. Это уравнение Гельмгольца.