5. Властивості оцінок параметрів.

Оцінки параметрів А є вибірковими характеристиками і повинні

мати такі властивості:

1) Незміщеності; 3) ефективності;

2) Обґрунтованості; 4) інваріантності.

Означення .Вибіркова оцінка А параметра А називається незміщеною, якщо вона задовольняє рівність

М(А)=А.

Означення . Вибіркова оцінка А параметрів А називається обґрунтованою, якщо при довільному Є > 0 справджується співвідношення

1іmР{|А-А|<є}=1.

Означення . Вибіркова оцінка А параметрів А називається ефективною, коли дисперсія цієї оцінки є найменшою в класі незміщених оцінок.

Нехай А ефективна оцінка параметрів А, а А' — деяка інша оцінка цих параметрів. Тоді

Це відношення називається ефективністю оцінки. Очевидно, що 0 < k <1; чим ближче k до одиниці, тим ефективнішою є оцінка. Цікаво, що відношення може бути функцією сукупності спостережень п, причому зі збільшенням п може швидко змінюватися.

Означення. Оцінка А параметрів А називається інваріантною, якщо для довільно заданої функції g оцінка параметрів функції g(A) подається у вигляді g(A).

Іншими словами, інваріантність оцінки базується на тому, що в разі перетворення параметрів А за допомогою деякої функції g таке саме перетворення, виконане щодо А, дає оцінку g(A) нового параметра.

Інваріантність оцінок має велике практичне значення. Наприклад, якщо відома оцінка дисперсії генеральної сукупності й вона інваріантна, то оцінку середньоквадратичного відхилення можна дістати, добувши квадратний корінь із оцінки дисперсії.

Коефіцієнт кореляції R є інваріантною оцінкою до коефіцієнта детермінації

.

2.6. Перевірка моделі на якість і точність.Прогноз.

У класичній регресійній моделі У = ХА + u; вектор и = (u₁, и₂,..., и_n) і залежний від нього вектор У = (у₁, у₂..., у_n) є випадковими змінними. До оператора оцінювання А входить вектор У = А = (X′X)^-1 X' Y

а отже, оператор А також можна вважати випадковою функцією оцінювання параметрів моделі.

Відомо, що для характеристики випадкових змінних поряд з математичним сподіванням, застосовуються також дисперсія і коваріація . Істинні (справжні) значення цих параметрів класичної економетричної моделі утворюють дисперсійно-коваріаційну матрицю

(2.31)

Оцінки коваріаційної матриці використовуються для знаходження стандартних помилок та обчислення довірчих інтервалів оцінок параметрів .. Вони використовуються й при перевірці їх статистичної значущості.

На головній діагоналі матриці var ( ) містяться оцінки дисперсій j оцінки параметрів, що ж до елементів , які розміщені поза головною діагоналлю, то вони є оцінками коваріації між а_i і а_j., де —незміщена оцінка дисперсії залишків:

(2.32)

Оскільки вектор залишків u =У-У = Y-XA, то добуток векторів u^′ u можна записати так

u'u=Y'Y-A'X'Y. (2.33)

Звідси маємо альтернативну форму запису дисперсії залишків:

(2.34)

Позначимо (j , k) -й елемент матриці (X' Х)^-1 символом C_ij., тоді j-й елемент по головній діагоналі матриці var(A) обчислюється за формулою:

(2.35)

Коваріації , що містяться за межами головної діагоналі, відповідно такі:

(2.36)