- •Затверджено
- •Навчально-методичний посібник
- •5.03050801 „Фінанси і кредит”, 5.03050401 „Економіка підприємства”
- •Тема 1.1. Вступ. Множини та операції над ними
- •Тема 1.2. Комбінаторика. Біном Ньютона
- •1.1. Вступ. Множини та операції над ними Література
- •Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- •Перехід від алгебраїчної форми запису комплексного числа до тригонометричної, показникової і навпаки
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •Розв’язування квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •1.2. Комбіноторика. Біном Ньютона Література
- •Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- •Основні принципи комбінаторики
- •Розв’язування комбінаторних задач
- •Тема 2.1. Матриці та визначники
- •Тема 2.2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- •2.1. Матриці та визначники Література
- •Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- •Розв’язування матричних рівнянь
- •Розв’язування матричних рівнянь:
- •Розв’язання
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •Знаходження рангу матриць з використанням елементарних перетворень
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •Тема 3.1. Векторна алгебра
- •Тема 3.2. Аналітична геометрія
- •3.1. Векторна алгебра Література
- •Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- •Векторні та скалярні величини. Координати вектора. Дії над векторами в координатній формі. Скалярний добуток і його властивості. Кут між векторами
- •Координати вектора
- •Дії над векторами в координатній формі
- •Розв’язання
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •3.2. Аналітична геометрія Література
- •Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- •Розв’язування задач на криві другого порядку
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •Тема 4.1. Задачі лінійного програмування
- •Розв’язання
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •Тема 5.1. Функціональна залежність. Елементарні функції. Границя функції. Неперервність функції
- •5.1 Функціональна залежність. Елементарні функції. Границя функції. Неперервність функції Література
- •Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- •Означення функціональної залежності. Функції в економіці. Способи задання функцій
- •Розв’язання
- •Способи задання функції:
- •За означенням, для взаємно обернених функцій маємо:
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •Дослідження основних властивостей функції: області визначення, парності, непарності функції, періодичності за аналітичним заданням функції
- •Розв’язання
- •Елементарні функції
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •Тема 6.1. Похідна функції та диференціал
- •Тема 6.2. Застосування диференціального числення до дослідження функцій та побудови їх графіків
- •6.1. Похідна функції та диференціал Література
- •Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- •Задачі, які приводять до поняття похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Означення похідної функції. Основні правила диференціювання
- •Властивості еластичності функції:
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Означення похідної функції
- •Механічний зміст похідної:
- •Основні правила диференціювання
- •Доведення
- •Похідні функцій заданих неявно та параметрично
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •Диференціал, його геометричний зміст. Застосування диференціала до наближених обчислень.
- •Диференціали вищих порядків
- •Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- •Зростання, спадання та екстремуми функцій, необхідні та достатні умови. Асимптоти до графіка функцій Зростання та спадання функції
- •Розв’язання
- •Доведення
- •Екстремуми функції
- •Проте виявляється, що цього недостатньо, бо може , а функція в цій точці екстремуму не має.
- •Якщо в критичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій точці може бути екстремум, а може й не бути.
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Асимптоти до графіка функцій
- •Розв’язання
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •Дослідження функцій за допомогою похідної
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •Тема 7.1. Функції багатьох змінних. Екстремуми функцій багатьох змінних
- •7.1. Функції багатьох змінних. Екстремуми функцій багатьох змінних Література
- •Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- •Границя та неперервність функцій кількох змінних
- •Розв’язання
- •Доведення
- •Неперервність функцій двох змінних
- •Неперервність складеної (складної) функції двох змінних
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •Найбільше та найменше значення функції в замкненій області
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •Застосування диференціального числення функцій багатьох змінних до наближених обчислень
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •Тема 8.1. Невизначений інтеграл
- •Тема 8.2. Визначений інтеграл та його застосування
- •Тема 8.3. Диференціальні рівняння першого порядку
- •8.1. Невизначений інтеграл Література
- •Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- •Первісна функція. Невизначений інтеграл і його властивості. Таблиця невизначених інтегралів
- •І. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції
- •Метод інтегрування частинами
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •8.2. Визначений інтеграл та його застосування Література
- •Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- •Визначений інтеграл та його основні властивості
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •Обчислення довжини дуги плоскої фігури, об’єму тіла обертання Площа фігури
- •Розв’язання
- •Область задана в полярних координатах
- •Об’єм тіла, отриманого при обертанні кривої навколо координатної вісі
- •Розв’язання
- •Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- •Розв’язування вправ на диференціальні рівняння першого порядку
- •Розв’язання
- •Рівняння з відокремлювальними змінними
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Лінійні рівняння
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Однорідні рівняння
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •Тема 9.1. Числові ряди, їх збіжність.
- •Тема 9.2. Степеневі ряди.
- •9.1. Числові ряди, їх збіжність Література
- •Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- •Ряд геометричної прогресії, його збіжність
- •Розв’язання
- •Радикальна ознака Коші. Використання ознак збіжності рядів з додатними членами
- •Візьмемо другий додатний числовий ряд, збіжність чи розбіжність якого відома
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца
- •Розв’язання
- •Приклади для самостійного розв’язування
- •9.2. Степеневі ряди Література
- •Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- •Ряди Тейлора та Маклорена. Розклад елементарних функцій в ряд Маклорена.
- •Приклади для самостійного розв’язування
Розв’язання
Спочатку побудуємо математичну модель даної задачі. Позначимо через х1 і х2 план випуску продукції виду П1 і П2 відповідно. Тоді для виготовлення цієї продукції потреба у сировині є такою:
С1 - 2х1 + 3х2 одиниць,
С2 - 2х1 + х2 одиниць,
С3 - х2 одиниць,
С4 - 3х одиниць.
Очевидно, що витрати сировини не повинні перевищувати наявних запасів, тобто мають виконуватися наступні нерівності:
2x1 + 3x2 <19,
2х1 + х2 <13, (1)
3x2 <15,
3x1 <18.
При цьому, виходячи із змісту задачі, x1, х2, х3, х4 є невідомими. Прибуток підприємства від реалізації складає
Z = 7x1 + 5х2 (2)
Тепер задачу можна сформулювати так: серед розв'язків системи нерівностей (1) потрібно знайти значення х1 і х2, за яких функція (2) набуває найбільшого значення і х1 > 0, х2 > 0 (3)
Дану задачу зведемо до канонічної форми задачі лінійного програмування. З цією метою введемо до розгляду нові невід'ємні змінні:
х3 =19 - 2х1 - 3х1
х4 =13- 2х1 - х2, (4)
х5 =15 - 3х2,
х6 =18 - 3х,
Тоді систему (1) можна записати у вигляді
2х1 +3х2+х3= 13,
3х2 + х5=15, (41)
3х1 + х6=18.
При цьому системи (4) і (41) є еквівалентними.
Отже, отримали канонічну форму задачі лінійного програмування: знайти невід'ємний розв'язок системи (41), для якого цільова функція Z набуває найбільшого значення.
Покажемо тепер, як ця задача розв'язується за допомогою симплекс-методу. В системі (4) змінні х3, х4, х5, х6 подано через x1 і х2. Поклавши х1 = 0, х2 = 0, дістанемо значення решти змінних: х3 =19, х4 = 13, х5 = 15, х6 = 18. Усі значення змінних є невід'ємними і задовольняють системі (41), а тому є допустимими. Таким чином, отримали початковий розв'язок системи (41) -початковий план:
(0;0; 19; 13; 15; 18).
При цьому Z = 0. Змінні х1 і х2, через які подано х3, х4, х5, х6, будемо називати вільними, а змінні х3, х4, х5, х6 - базисними. Далі будуватимемо новий план задачі таким чином, щоб при цьому значення цільової функції Z збільшувалося. Оскільки функція Z подається через змінні x1 і х2 та додатні коефіцієнти, то збільшення x1 або х2 буде спричинювати збільшення значення функції Z. Збільшимо, наприклад, значення x1, а значення х2 залишимо поки рівним нулеві. Перше рівняння системи (4) дозволяє збільшувати x1 до 9.5, бо х3 >0. Друге рівняння системи (4) дозволяє збільшити х1 до 6.5, а четверте - до 6. Таким чином, для того, щоб усі змінні залишались невід'ємними, можна обирати значення х1, які не перевищують 6. Покладемо х1 = 6, тоді х6 = 0. Подамо тепер усі змінні із системи (4) через х2 і х6:
х1= 6 - х6 / 3,
х3=19 - 2(6 - х6 / 3) - 3х,
х4 = 13 - 2(6- х6 / 3) - х2,
х5 =15-3х2,
або
х1 =6 – х6 / 3,
х3 = 7- 3х2 + 2х6 / 3, (5)
х4 =13-х2 +2х6/3
х5 =15 - 3х2.
Цю систему можна записати у вигляді
х1 + х6 / 3 = 6
2х2 + х3 - 2х6 / 3=7 (51)
х2+х4 - 2x6 / 3=1,
3х2+ х5 =15.
функцію z також подамо через х2 і х6:
z =7(6 - x6 / 3) +5х2,
z = 42 + 5x2 -7x6 / 3. (6) Поклавши х2 = 0, х6 = 0, дістанемо із (5) новий план:
(6;0;7;1;15;0),
при цьому z = 42. Вільними змінними тепер х2 і х6, а базисними х1, х3, х4, х5.
Отже, при такому перетворенні до числа базисних змінних замість х1 введемо х6.
Таким чином, перехід до нового плану дозволив збільшити значення цільової функції z. З огляду на (6) зауважимо, що змінна х2 має множником додатний коефіцієнт. Тому будемо намагатися збільшити значення х2 з метою збільшення значення z. Щонайбільше х2 може набути значення, яке дорівнює 1 (це випливає із системи (5)). При цьому х4 = 0. Подаючи із системи (5) усі змінні через х4 і х6, дістанемо:
х2 = 1 - х4 + 2х6 / 3
х1 = 6 – х6 / 6,
х3 = 7 - 3(1 - х4 +2х6 / 3)+2х6 / 3,
х5 = 15 - (1- х4 + 2х6 / 3),
або
х1 =6 – х6 / 3
х2=1- х4 +2х6 / 3; (7)
х3 = 4+3 х4 - 4х6 / 3,
х5 =2+ 3 х4 - 2х6 .
Цю систему можна записати у вигляді
х1+х6 / 3 = 6
х2+х4 -2х6 / 3=1, (71)
х3 - 3х4+4х6 / 3=4,
3х4+х5 - 2х6 =12.
Функцію z також подамо через х4 і х6:
z = 42 + 5(1 - x4 + 2x6 / 3) -7x6 / 3, (8)
z = 47- 5х4 - х6.
Поклавши х4 = 0, х6 = 0, дістанемо із (7) новий план
(6;1;4;0;12;0),
при цьому z = 47.
Тепер будемо збільшувати х6. Найбільше значення, яке може досягати х6, дорівнює 3. При цьому х3 = 0. Подаючи із системи (7) усі змінні через х3 і х4, дістанемо:
х6 =3-3х3 / 4 + 9х4 /4,
х1=6 - (3-3х3 /4 + 9х4 /44) / 3,
х2=1- х4+2 (3-Зх3 /4+9х4 /4) / 3,
х5 =12 + 3х4 -2(3- Зх3/4 + 9x4/4),
або
х5=5+ 1х3 /4-3х4 /4,
х2=3-х3/2 + х4/2,
х5=6 + 3х3 / 2 - Зх4 /2, (9)
х6=3-3х3 /4 + 9х4 /4.
Цю систему можна записати у вигляді
х1 –х3 /4 + 3х4/4 = 5,
х2+х3/2 - х4/2 = 3, (91)
-3х3/2 + 3х4/2 + х5=6,
-3х3/4 + 9х4/4 + хб=3.
Функцію z також подамо через х3 і х4:
z = 47-5x4+ (3-3x3 /4 + 9x4/4) (10)
z = 50 - Зх3 / 4 -11х4 / 4.
Поклавши х3 = 0, х4 = 0, дістанемо із (9) новий план
(5; 3; 0; 0; 6; 3),
при цьому z = 50.
Подальше збільшення значень z є неможливим, оскільки коефіцієнти при х3 і х4 в (10) є від'ємними, а х3 > 0, х4 > 0. Отже, 50 є найбільшим значенням функції в області, яка визначається системою нерівностей (1). Таким чином, серед розв'язків задачі (1) - (3) найбільше значення функція z набуває при х1 = 5, х2 = 3. Це означає, що для досягнення найбільшого прибутку від реалізації всієї продукції необхідно виготовити п'ять одиниць продукції П1 і три одиниці продукції П2. Прибуток підприємства при цьому складає 50 грошових одиниць. Насамкінець, зауважимо стосовно розглянутого алгоритму, що:
1) на кожному кроці до базису включали одну із вільних змінних; вибір нової базисної змінної визначався наявністю додатного коефіцієнта в цій змінній у виразі цільової функції;
вибір нової базисної змінної може бути неоднозначним (якщо декілька змінних у виразі для цільової функції мають додатні коефіцієнти). В цьому випадку вибирають ту змінну, коефіцієнт якої є найбільшим;
змінна, яку виключають з базису, визначається з умови максимального збільшення цільової функції так, щоб значення всіх змінних залишались невід'ємними. Для того, щоб вибрати цю змінну, знаходять відношення вільних членів до коефіцієнтів при змінній, яку включають до базису (для додатних коефіцієнтів). Найменше з цих відношень і визначає змінну, яку виключають з базису. Зрозуміло, що практичні задачі, як правило, мають значно більший обсяг, ніж задача, яку ми розглянули. В загальному випадку про використання рисунків і геометричних побудов не може бути й мови. Однак за допомогою симплекс-методу такі задачі розв'язують порівняно легко.