Питання, що виносяться на самостійну роботу:

• Розв’язування матричних рівнянь

• Знаходження рангу матриць з використанням елементарних перетворень

Розв’язування матричних рівнянь

Означення. Рівняння виду А∙Х = В; У∙С = Д, де А, В, С, Д – відомі матриці, а X, У - невідомі матриці називаються матричними рівняння.

Означення. Розв’язати матричне рівняння означає знайти невідому матрицю при підстановці якої в рівняння воно перетворюється в правильну рівність.

Розв’язування матричних рівнянь:

А∙Х = В | А^-1 зліва У∙С = Д | С^-1 справа

A^-1∙A∙X = A^-1∙B У∙С∙С^-1 = Д∙С^-1

А^-1∙А = Е, Е - одинична матриця. О∙С^-1 = Е

ЕХ = А^-1В У∙Е = Д∙С^-1

X = А^-1 В У = Д∙С^-1

А^-1 і С^-1 матриці обернені відповідно до матриць А і С.

Висновок: Таким чином, щоб розв'язати матричне рівняння необхідно знайти матриці обернені до матриць, що записані біля невідомих матриць і домножити праву частину на обернені матриці зліва або справа.

Приклад. Розв’язати матричне рівняння:

У (А - В) = 2А + В, в якому ;

Розв’язання

Позначимо матрицю С = А – В і знайдемо її:

С = А – В = - =

Позначимо матрицю Д = 2А + В і знайдемо її:

Д =2 А + В = 2 + = = + =

Рівняння приймає вигляд У ∙ С = Д → У = Д ∙ С^-1

Знайдемо матрицю обернену матриці С.

Знайдемо алгебраїчні доповнення:

Тоді обернена матриця:

Знайдемо розв’язок рівняння:

Відповідь.

Приклади для самостійного розв’язування

Розв’язати матричні рівняння:

1. а) ; б)

2. А ∙ Х = В, в якому ;

3. а) (А + 2В) Х = А – В, в якому ;

б) (А + 2В) Х = А + В, в якому ;

в) У ∙ (А + В) = А², в якому ;

Знаходження рангу матриць з використанням елементарних перетворень

Розглянемо матрицю А розмірністю т×п і введемо ще одне важливе поняття

Означення. Рангом матриці А розмірністю т × п називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора, утвореного з елементів матриці.

Зрозуміло, що rang A = r ≤ тin(т, п), а максимально можливий ранг матриці може дорівнювати мінімальному з чисел т і п.

Розглянемо також поняття обвідного мінора k-го порядку. Це буде такий мінор (k+1) - го порядку, який повністю утримує в собі мінор k -го порядку.

При обчисленні рангу матриці треба переходити від мінорів менших порядків, відмінних від нуля, до мінорів більших порядків. Якщо вже знайдено мінор k-го порядку М - відмінний від нуля, то треба обчислити лише мінори (k + 1)-го порядку, що обводять мінор М. Якщо всі вони рівні нулю, то ранг матриці дорівнює k. Якщо серед них знайдеться такий, що відмінний від нуля, то далі для нього будуються обвідні мінори (k +2)-го порядку і т.п.

Означення. Елементарними перетвореннями матриці А називаються такі її перетворення:

1. заміна місцями двох рядків або двох стовпців матриці;

2. множення рядка або стовпчика матриці на довільне, відмінне від нуля число;

3. додавання до одного рядка або стовпчика іншого рядка або стовпчика попередньо помноженого на деяке число.

Теорема. Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.

У подальшому матриці, які мають рівні ранги будемо називати еквівалентними матрицями. Еквівалентні матриці будемо об'єднувати ~ (хвилька).

Приклад. Знайти ранг матриці методом обвідних мінорів