Тема 9.1. Числові ряди, їх збіжність.

Тема 9.2. Степеневі ряди.

9.1. Числові ряди, їх збіжність Література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997. – 397с. (с. 336 – 347).

2. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валєєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396с. (с. 336 - 351).

3. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Под ред. Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1988. – 272с. (с. 141 - 157).

4. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика: Підручник. – К.: Либідь, 1996. – 440с. (с. 270 - 284).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

• Ряд геометричної прогресії, його збіжність

• Радикальна ознака Коші. Використання ознак збіжності рядів з додатними членами

• Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца

Ряд геометричної прогресії, його збіжність

Означення. Числовий ряд вигляду називають рядом геометричної прогресії із знаменником q та першим членом а.

Приклад. Дослідити збіжність ряду геометричної прогресії.

Розв’язання

При часткова сума S_n визначається за відомою формулою суми спадної геометричної прогресії:

Тому сумою ряду у цьому випадку буде

тобто ряд збігається та його сума .

Якщо то частковою сумою буде а сума ряду тобто ряд розбігається.

Якщо q=1, то S_n=а+а+а+…+а = na, тому сума ряду буде тобто ряд розбігається.

Якщо q=-1, то S₁=a, S₂=a, S₃=a, S₄=0,…

Послідовність таких часткових сум границі не має (вона залежить від способу прямування до ), тому ряд розбігається.

Отже, ряд геометричної прогресії збігається при і розбігається при .

Відповідь. Ряд геометричної прогресії збігається при і розбігається при .

Радикальна ознака Коші. Ви­користання ознак збіжності ря­дів з додатними членами

В більш повних курсах вищої математики доведені слідуючі достатні ознаки збіжності додатних числових рядів, які бажано зрозуміти та використовувати.

Ознака порівняння. Нехай треба дослідити збіжність заданого ряду

(1)

Візьмемо другий додатний числовий ряд, збіжність чи розбіжність якого відома

(2)

Найчастіше для порівняння беруть ряд геометричної прогресії або узагальнений гармонічний ряд.

Ознака. Якщо ряд (2) збігається і, починаючи з деякого , виконуються співвідношення , тоді й ряд (1) також збігається.

Якщо ряд (2) розбігається і, починаючи з деякого , виконуються співвідношення , тоді й ряд (1) розбігається.

Приклад. Дослідити збіжність ряду

Розв’язання

Порівняємо заданий ряд

з рядом геометричної прогресії, знаменник якого

Кожний член заданого ряду менше або дорівнює відповідному члену ряду геометричної прогресії, який збігається, тому що < 1

Отже, заданий ряд збігається.

Відповідь. Ряд розбіжний.

Ознака Даламбера. Позначимо D постійну Даламбера, яку знаходять за формулою: (3)

Якщо D <1, тоді додатний числовий ряд збігається. При D >1 цей ряд розбігається. При D =1 треба застосовувати іншу ознаку.

Приклад. Дослідити збіжність раду

Розв’язання

Застосуємо до заданого ряду ознаку Даламбера

Отже, заданий ряд розбігається.

Відповідь. Ряд розбіжний.

Радикальна ознака Коші. Позначимо К постійну Коші, яку знаходять за формулою: (4)

Якщо К<1, тоді додатний числовий ряд збігається. При К>1 ряд розбігається. Якщо К = 1, то треба застосовувати іншу ознаку.

Приклад. Дослідити збіжність ряду