1.2Размерность ординат линий влияния

Для получения уравнения линии влияния следует написать соответствующую формулу, выражающую действие груза Р, и затем принять Р =1. Такая подстановка с алгебраической точки зрения эквивалентна делению выражения на Р. Отсюда следует, что ординаты линии влияния для какой-нибудь величины Z имеют размерность.

Например, ордината линии влияния опорных реакций и поперечных сил, усилия в стержне имеют размерность кг/кг, т.е. выражаются отвлеченными числами; ординаты линии влияния изгибающих моментов имеют размерность кг·м/кг = м; ординаты линии влияния прогибов – размерность м/кг и т.д.

Формально можно было бы сказать, что ординаты линий влияния, выражают собой влияние сосредоточенного груза, равного не 1 т или 1 кг, или какой-нибудь другой единице сил, а равного абстрактной единице.

Ординаты линий влияния можно рассматривать как отношение соответствующей величины к тому сосредоточенному грузу, которым она вызвана. Например, если какая-либо ордината опорной реакции равна 0,75, то это означает, что какой угодно сосредоточенный груз, стоящий над этой ординатой, вызовет реакцию, величина которой составит 0,75 от того же груза.

Можно наконец сказать, что ордината линии влияния представляет собой коэффициент, стоящий при Р в соответствующей формуле. Например, изгибающий момент в сечении С (см. рис. 1 б) от этого груза Р, стоящего слева, выражается формулой . Множитель и служит ординатой линии влияния.

1.3Свойство прямолинейного участка линии влияния

Если нагрузка расположена на прямолинейном участке линии влияния, то от замены нагрузки ее равнодействующей суммарное влияние не изменится.

Рис. 2 Рис. 3

Для доказательства рассмотрим рис. 2, на котором загружен прямолинейный участок АВ. Продолжим прямую АВ до пересечения ее с осью абсцисс. Расположив начало координат в точке 0, можно написать

.

Но так как сумма моментов нескольких сил относительно точки 0 равна моменту их равнодействующей, то

, следовательно: .

Итак, в рассмотренном случае влияния нагрузки равно влиянию ее равнодействующей.

Этот вывод относится не только к нагрузке, состоящей из сосредоточенных сил, но и к нагрузке, распределенной по длине по любому закону.

На рис. 3 показан случай нагрузки Р₁ и Р₂, равнодействующая которой расположена за пределами прямолинейного участка ВС линии влияния, однако в этом случае также .

Это положение справедливо только для прямолинейного участка линии влияния; для участка другого вида тангенс угла  - переменный, и вынесение его за знак суммы невозможно. Следовательно, от замены нагрузки ее равнодействующей силой влияние, вообще говоря, изменяется.

1.4Статический способ построения линий влияния усилий

Приведенные ниже правила используются при построении линий влияния усилий: опорных реакций R, поперечных сил Q и изгибающих моментов М в поперечных сечениях балки, продольных усилий N в стержнях фермы.

В соответствии со статическим методом построения линий влияния линию влияния какой-либо величины можно построить, выполняя последовательно следующие операции:

- выбрать систему координат с осями x, у(z). Начало координат целесообразно выбирать на левом конце расчетной схемы. Ось x – ось абсцисс точки приложения единичного груза и она же является осью абсцисс линии влияния. Ось у (z) – ось ординат линии влияния величины Z. Ось x направлена вправо, ось у – вверх;

- единичный груз поставить в произвольное положение (в пределах размера расчетной схемы) и обозначить абсциссу его точки приложения x. При этом все действующие на конструкцию нагрузки удаляются, т.е. конструкция рассматривается загруженной только единичным грузом;

- считая единичный груз неподвижным в выбранном произвольном положении, определить искомую величину, вызванную этим грузом, которая выразится некоторой формулой, содержащей x. Эта формула будет представлять собой уравнение линии влияния, если считать в ней x переменным.

В большинстве случаев единичный груз приходится ставить в произвольное положение поочередно на нескольких участках. Для каждого участка получится свое уравнение линии влияния, справедливое только для этого участка (включая его границы). Необходимо четко представлять границы каждого участка, т.е. границы справедливости соответствующего ему уравнения линии влияния.

При построении линий влияния усилий для определения искомого усилия при произвольном положении единичного груза используются уравнения равновесия всей конструкции (для линий влияния опорных реакций) или части ее (для линий влияния поперечных сил Q, изгибающих моментов М, усилий N в стержнях фермы).

При определении Q, M и N применяется метод сечений. Он заключается в следующем.

Конструкция мысленно рассекается на две части (рис. 4) в том месте, где требуется определить внутренние усилия Q, M.

При этом они становятся как бы внешними усилиями, одинаковыми по величине для любой из двух частей конструкции (но противоположно направленны-

⁰

⁰

⁰

Рис. 4

ми) и уравновешивающими действительные внешние нагрузки, приложенные к рассматриваемой части конструкции.

Из уравнения равновесия любой из двух частей конструкции (другая мысленно отбрасывается) находится искомое усилие (т.е. уравнение линии влияния).

Оставлять для рассмотрения и составления уравнения равновесия следует всегда ту часть конструкции, к которой приложено меньше внешних сил. При этом уравнение линии влияния получается более простым.

Для определения знаков усилий Q, M и N, характеризующих их направление, пользуются специальными правилами знаков, о чем будет сказано далее при рассмотрении конкретных линий влияния.

При составлении уравнений равновесия будем пользоваться следующими соображениями:

- искомым усилиям Q, M и N при их изображении на расчетной схеме задаются положительные направления в соответствии с принятыми правилами знаков;

- если знак усилия при решении получится отрицательным, то это означает, что искомое усилие в действительности направлено в противоположную сторону.

Момент силы относительно некоторой моментной точки записывается в уравнение равновесия со знаком плюс, если он направлен против часовой стрелки для наблюдателя, смотрящего на чертеж сверху. При противоположном направлении он записывается со знаком минус.

Проекция силы на ось записывается в уравнение равновесия со знаком плюс, если ее направление совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, если направление проекции силы и оси противоположны.

Если при составлении уравнения равновесия используется момент единичного груза относительно некоторой моментной точки, то необходимо иметь в виду следующее обстоятельство:

- чтобы знак этого момента оказался правильным при любом положении единичного груза (определяемого координатой x) относительно моментной точки, необходимо «плечо» этого груза, т.е. расстояние между линией его действия и моментной точкой, выразить положительным числом.

Для этого необходимо это расстояние определять как разность между наибольшей и наименьшей в алгебраическом смысле абсциссами двух точек – моментной точки и точки приложения единичного груза (или абсциссами их проекций на ось x). При этом абсцисса моментной точки записывается со своим знаком (она имеет конкретное значение), а абсцисса x точки приложения единичного груза записывается со знаком «плюс» (действительный ее знак учитывается, когда x получает конкретное значение). Поясним это на примере (рис. 5).

⁰

Рис. 5

На рис. 5 начало координат в точке «0». Моментной точкой является точка А. На основании ранее указанного момент единичного груза относительно точки А в уравнение равновесия следует записать в виде +1 (-a - x).

Момент единичного груза на рис. 5 направлен против часовой стрелки, поэтому перед выражением момента поставлен знак «плюс». Величина в скобках выразится положительным числом при любом значении х слева от точки А, т.е. не повлияет на правильность знака момента.

При такой первоначальной записи момента, соответствующей изображению на рис. 5, его знак автоматически окажется правильным при любом положении единичного груза на конструкции, в том числе и справа от точки А (следует только иметь в виду, что при перемещении груза вправо от точки А момент становится отрицательным).

Если при первоначальном положении единичный груз был бы изображен справа от моментной точки А, то его момент следовало бы записать в виде –1 [x – (–a)].

В остальных случаях вычисления моментов от любой другой силы для записи их в уравнение равновесия, когда точка приложения этой силы имеет конкретную абсциссу, расстояние между моментной точкой и линией действия силы принимается равным абсолютной величине этого отрезка (это вытекает из высказанного выше соображения).

Избежать возможных неточностей записей моментов различного груза в уравнение равновесия можно в том случае, если принимать начало координат всегда на левом конце конструкции и ось «x» направлять вправо. В этом случае абсциссы всех точек приложения единичного груза будут положительными и «плечо» этого груза всегда будет равно абсолютной величине отрезка между его линией действия и моментной точкой.