Погрешности косвенных измерений

Если результат эксперимента определяется на основе расчетов, то измерения называются косвенными. Например, при определении импульса тела p = mv, скорости равноускоренного движении V = V₀ + at и т.п. Однако нам не удастся подсчитать погрешность полученного результата косвенных измерений так же просто, как при проведении прямых измерениях.

Предположим, что нам необходимо определить периметр и площадь прямоугольника. Произведя измерения линейкой, мы получим длины его сторон. Пусть длина одной стороны прямоугольника будет равна a, другой - b. Тогда периметр р прямоугольника будет равен p=2(a + b), а его площадь s = ab. Можно ли утверждать, что погрешности результатов расчета периметра прямоугольника и его площади будут одинаковыми? Вряд ли, ведь формулы, которыми пользовались при расчете разные: при нахождении периметра величины, полученные при измерении, мы складывали, а при подсчете его площади - перемножали.

При расчете погрешности результатов косвенных измерений нам придется учитывать, как выглядит формула, по которой производился расчет искомой величины. В теории погрешностей доказывается, как это можно сделать в общем виде. Мы же воспользуемся набором готовых формул для вычисления относительной погрешности результатов косвенных измерений. Формулы расчета относительных погрешностей для различных случаев приведены в таблице 3.

Таблица 2

Как пользоваться этой таблицей?

Вид функции	Относительная погрешность

Пусть, например, некоторая физическая величина х рассчитывается по формуле:

.

Значения k, m и p найдены прямыми измерениями во время проведения эксперимента. Их абсолютные погрешности соответственно равны . Подставляя полученные значения в формулу, получим приближенное значение .

Затем следует рассчитать относительную погрешность результата косвенных измерений - , воспользовавшись соответствующей формулой из таблицы 3.

На первый взгляд может показаться, что такой формулы в таблице нет. При более внимательном анализе ситуации заметим, что в нашем случае искомое значение находится как отношение двух величин k + m = А и р = В, поэтому нам можно воспользоваться формулой Х = А : В.

В нашем случае из таблицы 3 имеем для отношения А : В: или

Из этой же таблицы мы можем узнать, как рассчитать относительную погрешность суммы: . Следовательно, .

Теперь можно найти значение границе абсолютной погрешности результатов косвенных измерений, которая рассчитывается несколько иначе, чем при проведении прямых измерений. Для вычисления абсолютной погрешности результатов косвенных обычно измерений используют формулу для расчета относительной погрешности

.

Откуда ..

Окончательный результат косвенных измерений записывают в виде: .