Задание №2 Геометрические параметры плоских сечений.

Для поперечного сечения состоящего из двух стандартных прокатных профилей (схемы сечений показаны на рис. 3.1) вычислить геометрические характеристики. Данные взять из таблицы 3.1.

Таблица 3.1

№ п/п	Тип сечения по рисунку 3.1	Двутавр	Швеллер	Неравнополочный уголок
	В	Б	В	Б
0	X	27	22	1258012
1	I	16	20	90568
2	II	18	18	75508
3	III	20	16	1006310
4	IV	22	14	100636
5	V	24	18	110706
6	VI	18	20	1258010
7	VII	27	18	1409010
8	VIII	30	16	16010010
9	IX	18	20	18011010

Порядок расчета

1. Выписать исходные данные согласно варианту.

2. Для стандартных профилей выписать данные из таблиц сортамента.

3. Нарисовать расчетную схему.

4. Определить положение центра тяжести сечения.

5. Вычислить осевые и центробежный моменты инерции относительно центральных осей.

6. Вычислить главные моменты инерции.

7. Определить направление главных центральных осей сечения.

8. Вычислить радиусы инерции сечения относительно осей Z_c и Y_c.

Сечение вычерчивать в масштабе с указанием на нем всех осей и размеров, необходимых для выполнения расчета.

Рисунок 3.2 Варианты сечений.

Пример выполнения задания №2.

1. Выписать исходные данные согласно варианту.

Выбираем данные из таблицы аналогично примеру, показанному в пункте 2. Для нашего случая это:

VI	Двутавр №27 Неравнобокий уголок 125х80х12

Внимание. Поскольку в нашей расчетной схеме нет швеллера, то его данные выписывать нет необходимости

2. Для стандартных профилей выписать данные из таблиц сортамента.

Первая фигура в нашем варианте это неравнобокий уголок 125х80х12. В таблице сортамента его расположение отличается от того, как он располагается на нашей расчетной схеме (рис 3.2а и рис. 3.3 а). Также названия осей могут отличаться от принятых в данных методических рекомендациях. Поэтому, при переписывании следует корректно преобразовать исходные данные (рис. 3.2б и рис. 3.3 б).

Неравнобокий уголок
В таблице сортамента	Скорректирован для дальнейшего использования
В = 125 мм b = 80 мм t = 12 мм y = 42 мм x = 20 мм Площадь S = 2336.091024 мм^2 Осевые моменты инерции: Jx = 1168435.032492 мм^4 Jy = 3647894.060856 мм^4 Центробежный момент инерции Jxy = 1182868.578378 мм^4	b1 = 12.5 см h1 = 8 см d1 = 1.2 см zc1 = 4.2 см yc1 = 2 см Площадь A1 = 23.36 см^2 Осевые моменты инерции: JY1 = 116.84 см^4 JZ1 = 364.78 см^4 Центробежный момент инерции JZ1Y1 = 118.28 см4

Рисунок 3.2 Расчетные данные для неравнобокого уголка

Двутавр № 27
В таблице сортамента	Скорректирован для дальнейшего использования
h = 270 мм b = 125 мм Площадь S = 40.180121 см^2 Осевые моменты инерции Jx = 5012.96 см^4 Jy = 261.05 см^4 Центробежный момент инерции Jxy = 0.00 см^4	h2 = 270 мм b2 = 125 мм Площадь A2 = 40.18 см^2 Осевые моменты инерции JZ2 = 5012.96 см^4 JY2 = 261.05 см^4 Центробежный момент инерции JZ2Y2 = 0.00 см^4

Рисунок 3.3 Расчетные данные для двутавра

3. Нарисовать расчетную схему.

Расчетная схема показана на рисунке 3.4. Она вычерчена в масштабе М 1:2. И на ней проставлены все необходимые для дальнейших расчетов данные (некоторые величины из присутствующих на рис. 3.4 будут введены позже).

Рисунок 3.4 Графическая часть задания №2

4. Определить положение центра тяжести сечения.

Наше сечение состоит из двух простых (1 – уголок, 2 – двутавр). Проводим базовые (случайные) оси координатных осей (Y, Z), проходящие по правой и нижней границам сечения, соответственно.

Координаты центра тяжести определяем из формул:

,

,

где у1, у2 – расстояние от базовых осей до центров тяжести каждого из профилей по оси У; z1, z2 – расстояние от базовых осей до центров тяжести каждого из профилей по оси Z; А1 и А2 – площади профилей.

,

По найденным значениям координат наносим центр тяжести сечения (см. рис. 3.4). Если расчеты выполнены правильно, то центр тяжести сечения должен быть расположен на линии, соединяющей центры тяжести фигур.

Через центр тяжести проводим центральные оси Yc и Zc.

5. Вычислить осевые и центробежный моменты инерции относительно центральных осей.

Моменты инерции сечения будут равны сумме значений моментов инерции простых частей (каждого профиля по отдельности). Для вычисления моментов инерции частей сечения (фигур) относительно центральных осей воспользуемся формулами, выражающими изменение осевых моментов инерции в случае параллельного переноса координатных осей:

,

,

где и – осевые моменты инерции фигур, составляющих сечение, относительно собственных центральных осей Y₁, Y₂, Z₁, Z₂ ;

a_i и b_i’ – расстояния между центральными осями всего сечения (Yc, Zc) и соответствующими центральными осями фигур (Y₁, Y₂, Z₁, Z₂).

Для вычисления центробежных моментов инерции частей сечения (фигур) относительно центральных осей применим формулу

.

Расстояния a_i , b’_i (i=1,2) найдем по формулам:

a_i =y_i–y_c;

b’_i =z_i–z_c .

Тогда:

a₁ =6 – 15,8 = –7,8см;

a₂ =21,5 – 15,8= 5,7см.

Суммарный момент инерции относительно оси Zc:

Так же вычисляем момент инерции относительно оси Yc:

b’₁ =4.36 – 5.55 = –1.19см;

b’₂ =6.25 – 5.55 = 0.7см.

Суммарный момент инерции относительно оси y:

Вычисляем центробежный момент инерции сечения.

Собственные оси инерции двутавра (Z1 и Y1) одновременно являются для него главными центральными осями. Центробежный момент относительно координатных осей, которые являются главными центральными осями, равен нулю. Поэтому собственный центробежный момент для двутавра равен нулю.

Суммарный центробежный момент всего сечения

6. Вычислить главные моменты инерции.

Определим значения главных моментов инерции:

Проверка

;

7. Определить направление главных центральных осей сечения.

Угол между осью Zс и осью относительно которой момент инерции равен I_max :

Угол между осью Zс и осью относительно которой момент инерции равен I_min :