2. Построение линейной модели.

2.1 Находим суммы всех значений t, Y, их произведений t* Y , а также значений t², Y².

2.2.Находим средние значения величин t, Y и их произведений t* Y .

Для этого просто поделим величины соответствующих сумм, найденные ранее, на число наблюдений n (то есть на 9).

2.3.Находим дисперсии σ² _t, σ²_Y .

Можно найти их, используя квадраты разности между значением переменной и соответствующим средним значением, т. е. формулы:

_ _

σ² _t =∑ (t- t)²/ n; σ²_Y =∑ (Y- Y)²/ n

2.4 Находим коэффициенты уравнения регрессии:

__ _ __

а₁=( tY- t* Y)/ σ²_t=(286,11-5*53,78)/6,67=2,58

__ _

а₀= Y - а_1* t = 53,78-2,58*5=40,86

Формулы для определения коэффициентов уравнения регрессии определяются с использованием метода наименьших квадратов (МНК).

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

Y= а₀+ а₁* t;

Y=40,86+2,58* t

Рассчитываем для каждого наблюдения «предсказанное» (смоделированное) значение отклика (величины показателя) (Y).

На основании рассчитанных Y находим значения остатков для каждого наблюдения:

__

ε_i= Y_i - Y_i

Решение задачи с помощью Пакета анализа Ехсеl. Используем инструмент пакета "Анализ данных" - Регрессия. Вводим данные для выполнения подпрограммы "Регрессия" и анализируем их результаты (которые приведены в таблицах).

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	1-статистика
Y-пересечение t	40,86	1,38	29,68
	2,58	0,24	10,56

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение	Предсказанное У	Остатки
1	43,44	-0,44
2	46,03	0,97
3	48,61	1,39
4	51,19	-3,19
5	53,78	0,22
6	56,36	0,64
7	58,94	2,06
8	61,53	-2,53
9	64,11	0,89

По приведенным данным можно сделать вывод, что результаты "ручного" расчета (по формулам) и автоматического расчета совпадают, поскольку коэффициенты уравнения регрессии - одинаковы.

3 .Построение адаптивной модели Брауна.

Этап 1: По первым пяти точкам временного ряда получим начальные оценки параметров модели, используя формулы, полученные методом наименьших квадратов

а₁=∑ ((t- t₁ )* (Y(t)- Y₁))/ ∑ (t- t₁)²; а₀= Y₁- а₁* t₁;

Средние значения для пяти точек вычисляются по формулам:

_ __

t₁=1/5∑ t; Y₁=1/5∑ Y(t)

Все вычисления средних значений и начальных оценок параметров модели выполним в расчетной таблице.

Этап 2: С помощью начальных параметров по модели Брауна найдем прогноз на один шаг (k =1):

Y_p (t, k )= а₀ (t) + а₁(t) k.

Этап 3: Расчетное значение Y_р (t, k) ряда сравниваем с фактическим значением Y(t) и вычисляем величину расхождения (ошибки).

Формула для вычисления ошибки (при k = 1):

e (t+1)=Y (t+1)- Y_p (t,1)

Этап 4: Корректировка параметров модели в соответствии с величиной ошибки.

Используются формулы:

а₀ (t) = а₀ (t-1)+ а₁(t-1)+ ά²* e (t);

а₁(t) = а₁(t-1)+ ά²* e (t).

Здесь ά - параметр сглаживания. Сначала проведем вычисления при параметре сглаживания, равном 0,4, а затем - равном 0,7.

е (х) - ошибка прогнозирования уровня Y (t), вычисленная в момент времени (t +1) на один шаг вперед.

Этап 5: По модели со скорректированными параметрами а₀ и а₁ находим прогноз на следующий момент времени.

Повторяем этапы построения модели, пока не достигнем значения t = 9 (в данном случае). При достижении t = 9 получаем модель, которую можно использовать для прогнозирования. Для параметра сглаживания ά = 0,4 на последнем шаге получаем модель У_р (N+ k) = 63,6937 +2,948 k , а для ά = 0,7 - модель У_р (N + k) = 64,1103+ +2,437 k.

Необходимо заметить, что лучшим значением параметра сглаживания является 0,4, поскольку при этом получается меньшая средняя относительная ошибка аппроксимации и среднеквадратическое отклонение остатков. Это показывают дальнейшие расчеты.