3.3 Расчет переходного процесса методом трапеций
Вещественную частотную характеристику (рисунок 10) заменим мало отличающимися от кривой горизонтальными и наклонными прямолинейными участками, образующими с осью ординат трапеции. Действительная ВЧХ при этом будет представлена как алгебраическая сумма трапецеидальных частотных характеристик
, (39)
где
‑ число трапеций.
Горизонтальные
отрезки чертим в точках экстремумов.
Первый отрезок должен начинаться из
точки
,
т.к. эта точка определяет конечное
значение переходной характеристики
.
Более тщательно нужно аппроксимировать
начальный участок ВЧХ. Конечный участок
с ординатами, меньшими по абсолютному
значению, чем
можно не принимать во внимание.
Определим параметры трапеций.
Рисунок 11 – Замена ВЧХ на трапеции
Из рисунка 11 находим параметры получившихся трапеций и заносим их в таблицу 3:
Таблица 3 – Параметры трапеций
|
|
ABCD |
DCEK |
KEOP |
PONZ |
ZNWR |
RWJP |
|
wd |
1.3 |
4.8 |
13.5 |
18 |
23 |
32 |
|
wn |
4.8 |
13.5 |
18 |
23 |
32 |
100 |
|
P |
0.2 |
0.6 |
0.2 |
0.1 |
0.035 |
-0.135 |
|
x |
0.25 |
0.35 |
0.7 |
0.8 |
0.75 |
0.3 |
По значениям
вычислим коэффициенты наклона
, (40)
и округлим их до ближайшего из значений 0; 0,05; 0,1; 0,15; … 0,95; 1.
Рассчитаем переходные процессы отдельно для каждой трапеции.
В таблице h-функций
для каждой i-й трапеции отыскивается
столбец, соответствующий значению
коэффициента наклона
.
Затем для ряда значений условного
времени
выписывают соответствующие им значения
.
По значениям
и
вычисляют значения действительного
времени
и составляющей переходной характеристики
:
;
. (41)
Результаты оформим в таблице 4.
Таблица 4 – Расчет графиков составляющих переходной характеристики
|
Трапеция 1 |
Трапеция 2 |
Трапеция 3 | |||||||||
|
ωd1=1,3;ωn1=4,8;χ=0,25;P1=0,2 |
ωd2=4,8;ωn2=13,5;χ=0,35;P2=0,6 |
ωd3=13,5;ωn3=18;χ=0,7;P3=0,2 | |||||||||
|
τ |
h1(τ) |
t=τ/ωn1 |
h1(t)=h1(τ)*P1 |
τ |
h2(τ) |
t=τ/ωn2 |
h2(t)=h2(τ)*P2 |
τ |
h3(τ) |
t=τ/ωn3 |
h3(t)=h3(τ)*P3 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,5 |
0,207 |
0,104167 |
0,0414 |
0,5 |
0,223 |
0,037037 |
0,1338 |
0,5 |
0,275 |
0,026316 |
0,055 |
|
1 |
0,401 |
0,208333 |
0,0802 |
1 |
0,432 |
0,074074 |
0,2592 |
1 |
0,534 |
0,052632 |
0,1068 |
|
1,5 |
0,594 |
0,3125 |
0,1188 |
1,5 |
0,617 |
0,111111 |
0,3702 |
1,5 |
0,758 |
0,078947 |
0,1516 |
|
2 |
0,681 |
0,416667 |
0,1362 |
2 |
0,786 |
0,148148 |
0,4716 |
2 |
0,938 |
0,105263 |
0,1876 |
|
2,5 |
0,839 |
0,520833 |
0,1678 |
2,5 |
0,938 |
0,185185 |
0,5628 |
2,5 |
1,06 |
0,131579 |
0,212 |
|
3 |
0,958 |
0,625 |
0,1916 |
3 |
1,013 |
0,222222 |
0,6078 |
3 |
1,42 |
0,157895 |
0,284 |
|
3,5 |
1,024 |
0,729167 |
0,2048 |
3,5 |
1,074 |
0,259259 |
0,6444 |
3,5 |
1,166 |
0,184211 |
0,2332 |
|
4 |
1,06 |
0,833333 |
0,212 |
4 |
1,107 |
0,296296 |
0,6642 |
4 |
1,161 |
0,210526 |
0,2322 |
|
4,5 |
1,08 |
0,9375 |
0,216 |
4,5 |
1,115 |
0,333333 |
0,669 |
4,5 |
1,127 |
0,236842 |
0,2254 |
|
5 |
1,087 |
1,041667 |
0,2174 |
5 |
1,112 |
0,37037 |
0,6672 |
5 |
1,069 |
0,263158 |
0,2138 |
|
5,5 |
1,083 |
1,145833 |
0,2166 |
5,5 |
1,095 |
0,407407 |
0,657 |
5,5 |
1,016 |
0,289474 |
0,2032 |
|
6 |
1,065 |
1,25 |
0,213 |
6 |
1,068 |
0,444444 |
0,6408 |
6 |
0,956 |
0,315789 |
0,1912 |
|
6,5 |
1,05 |
1,354167 |
0,21 |
6,5 |
1,043 |
0,481481 |
0,6258 |
6,5 |
0,936 |
0,342105 |
0,1872 |
|
7 |
1,037 |
1,458333 |
0,2074 |
7 |
1,023 |
0,518519 |
0,6138 |
7 |
0,917 |
0,368421 |
0,1834 |
|
7,5 |
1,025 |
1,5625 |
0,205 |
7,5 |
1,005 |
0,555556 |
0,603 |
7,5 |
0,911 |
0,394737 |
0,1822 |
|
8 |
1,021 |
1,666667 |
0,2042 |
8 |
0,995 |
0,592593 |
0,597 |
8 |
0,936 |
0,421053 |
0,1872 |
|
8,5 |
1,018 |
1,770833 |
0,2036 |
8,5 |
0,992 |
0,62963 |
0,5952 |
8,5 |
0,958 |
0,447368 |
0,1916 |
|
9 |
1,018 |
1,875 |
0,2036 |
9 |
0,992 |
0,666667 |
0,5952 |
9 |
0,99 |
0,473684 |
0,198 |
|
9,5 |
1,019 |
1,979167 |
0,2038 |
9,5 |
0,993 |
0,703704 |
0,5958 |
9,5 |
1,015 |
0,5 |
0,203 |
|
10 |
1,019 |
2,083333 |
0,2038 |
10 |
0,993 |
0,740741 |
0,5958 |
10 |
1,036 |
0,526316 |
0,2072 |
|
10,5 |
1,017 |
2,1875 |
0,2034 |
10,5 |
0,993 |
0,777778 |
0,5958 |
10,5 |
1,046 |
0,552632 |
0,2092 |
|
11 |
1,014 |
2,291667 |
0,2028 |
11 |
0,993 |
0,814815 |
0,5958 |
11 |
1,047 |
0,578947 |
0,2094 |
|
11,5 |
1,01 |
2,395833 |
0,202 |
11,5 |
0,991 |
0,851852 |
0,5946 |
11,5 |
1,043 |
0,605263 |
0,2086 |
|
12 |
1,004 |
2,5 |
0,2008 |
12 |
0,988 |
0,888889 |
0,5928 |
12 |
1,025 |
0,631579 |
0,205 |
|
12,5 |
0,999 |
2,604167 |
0,1998 |
12,5 |
0,986 |
0,925926 |
0,5916 |
12,5 |
1,01 |
0,657895 |
0,202 |
|
13 |
0,994 |
2,708333 |
0,1988 |
13 |
0,985 |
0,962963 |
0,591 |
13 |
0,993 |
0,684211 |
0,1986 |
|
13,5 |
0,99 |
2,8125 |
0,198 |
13,5 |
0,984 |
1 |
0,5904 |
13,5 |
0,982 |
0,710526 |
0,1964 |
|
14 |
0,988 |
2,916667 |
0,1976 |
14 |
0,985 |
1,037037 |
0,591 |
14 |
0,974 |
0,736842 |
0,1948 |
|
14,5 |
0,987 |
3,020833 |
0,1974 |
14,5 |
0,988 |
1,074074 |
0,5928 |
14,5 |
0,97 |
0,763158 |
0,194 |
|
15 |
0,988 |
3,125 |
0,1976 |
15 |
0,991 |
1,111111 |
0,5946 |
15 |
0,976 |
0,789474 |
0,1952 |
|
15,5 |
0,989 |
3,229167 |
0,1978 |
15,5 |
0,996 |
1,148148 |
0,5976 |
15,5 |
0,984 |
0,815789 |
0,1968 |
|
16 |
0,991 |
3,333333 |
0,1982 |
16 |
0,998 |
1,185185 |
0,5988 |
16 |
0,983 |
0,842105 |
0,1966 |
|
16,5 |
0,993 |
3,4375 |
0,1986 |
16,5 |
1,002 |
1,222222 |
0,6012 |
16,5 |
1,001 |
0,868421 |
0,2002 |
|
17 |
0,994 |
3,541667 |
0,1988 |
17 |
1,005 |
1,259259 |
0,603 |
17 |
1,008 |
0,894737 |
0,2016 |
|
17,5 |
0,994 |
3,645833 |
0,1988 |
17,5 |
1,006 |
1,296296 |
0,6036 |
17,5 |
1,012 |
0,921053 |
0,2024 |
|
18 |
0,995 |
3,75 |
0,199 |
18 |
1,008 |
1,333333 |
0,6048 |
18 |
1,014 |
0,947368 |
0,2028 |
|
18,5 |
0,995 |
3,854167 |
0,199 |
18,5 |
1,007 |
1,37037 |
0,6042 |
18,5 |
1,012 |
0,973684 |
0,2024 |
|
19 |
0,995 |
3,958333 |
0,199 |
19 |
1,006 |
1,407407 |
0,6036 |
19 |
1,009 |
1 |
0,2018 |
|
19,5 |
0,995 |
4,0625 |
0,199 |
19,5 |
1,005 |
1,444444 |
0,603 |
19,5 |
1,005 |
1,026316 |
0,201 |
|
20 |
0,995 |
4,166667 |
0,199 |
20 |
1,005 |
1,481481 |
0,603 |
20 |
1,001 |
1,052632 |
0,2002 |
|
20,5 |
0,996 |
4,270833 |
0,1992 |
20,5 |
1,004 |
1,518519 |
0,6024 |
20,5 |
0,996 |
1,078947 |
0,1992 |
|
21 |
0,997 |
4,375 |
0,1994 |
21 |
1,004 |
1,555556 |
0,6024 |
21 |
0,993 |
1,105263 |
0,1986 |
|
21,5 |
0,999 |
4,479167 |
0,1998 |
21,5 |
1,004 |
1,592593 |
0,6024 |
21,5 |
0,992 |
1,131579 |
0,1984 |
|
22 |
1 |
4,583333 |
0,2 |
22 |
1,004 |
1,62963 |
0,6024 |
22 |
0,991 |
1,157895 |
0,1982 |
|
22,5 |
1,002 |
4,6875 |
0,2004 |
22,5 |
1,004 |
1,666667 |
0,6024 |
22,5 |
0,992 |
1,184211 |
0,1984 |
|
23 |
1,004 |
4,791667 |
0,2008 |
23 |
1,003 |
1,703704 |
0,6018 |
23 |
0,994 |
1,210526 |
0,1988 |
|
23,5 |
1,004 |
4,895833 |
0,2008 |
23,5 |
1,003 |
1,740741 |
0,6018 |
23,5 |
0,997 |
1,236842 |
0,1994 |
|
24 |
1,005 |
5 |
0,201 |
24 |
1,002 |
1,777778 |
0,6012 |
24 |
1 |
1,263158 |
0,2 |
|
24,5 |
1,005 |
5,104167 |
0,201 |
24,5 |
1,001 |
1,814815 |
0,6006 |
24,5 |
1,002 |
1,289474 |
0,2004 |
|
25 |
1,005 |
5,208333 |
0,201 |
25 |
1 |
1,851852 |
0,6 |
25 |
1,003 |
1,315789 |
0,2006 |
|
25,5 |
1,004 |
5,3125 |
0,2008 |
25,5 |
0,998 |
1,888889 |
0,5988 |
25,5 |
1,004 |
1,342105 |
0,2008 |
|
26 |
1,004 |
5,416667 |
0,2008 |
26 |
0,997 |
1,925926 |
0,5982 |
26 |
1,004 |
1,368421 |
0,2008 |
Продолжение таблицы 4
|
Трапеция 4 |
Трапеция 5 |
Трапеция 6 | |||||||||
|
ωd4=18;ωn4=23;χ=0,8;P4=0,1 |
ωd5=23;ωn5=32;χ=0,75;P5=0,035 |
ωd5=32;ωn5=100;χ=0,3;P5=-0,135 | |||||||||
|
τ |
h4(τ) |
t=τ/ωn4 |
h4(t)=h4(τ)*P4 |
τ |
h5(τ) |
t=τ/ωn5 |
h5(t)=h5(τ)*P5 |
τ |
h5(τ) |
t=τ/ωn5 |
h5(t)=h5(τ)*P5 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,5 |
0,282 |
0,021739 |
0,0282 |
0,5 |
0,267 |
0,016667 |
0,009345 |
0,5 |
0,207 |
0,005 |
-0,027945 |
|
1 |
0,547 |
0,043478 |
0,0547 |
1 |
0,519 |
0,033333 |
0,018165 |
1 |
0,401 |
0,01 |
-0,054135 |
|
1,5 |
0,776 |
0,065217 |
0,0776 |
1,5 |
0,74 |
0,05 |
0,0259 |
1,5 |
0,594 |
0,015 |
-0,08019 |
|
2 |
0,956 |
0,086957 |
0,0956 |
2 |
0,919 |
0,066667 |
0,032165 |
2 |
0,681 |
0,02 |
-0,091935 |
|
2,5 |
1,078 |
0,108696 |
0,1078 |
2,5 |
1,042 |
0,083333 |
0,03647 |
2,5 |
0,839 |
0,025 |
-0,113265 |
|
3 |
1,154 |
0,130435 |
0,1154 |
3 |
1,13 |
0,1 |
0,03955 |
3 |
0,958 |
0,03 |
-0,12933 |
|
3,5 |
1,171 |
0,152174 |
0,1171 |
3,5 |
1,161 |
0,116667 |
0,040635 |
3,5 |
1,024 |
0,035 |
-0,13824 |
|
4 |
1,156 |
0,173913 |
0,1156 |
4 |
1,16 |
0,133333 |
0,0406 |
4 |
1,06 |
0,04 |
-0,1431 |
|
4,5 |
1,111 |
0,195652 |
0,1111 |
4,5 |
1,132 |
0,15 |
0,03962 |
4,5 |
1,08 |
0,045 |
-0,1458 |
|
5 |
1,053 |
0,217391 |
0,1053 |
5 |
1,084 |
0,166667 |
0,03794 |
5 |
1,087 |
0,05 |
-0,146745 |
|
5,5 |
0,994 |
0,23913 |
0,0994 |
5,5 |
1,032 |
0,183333 |
0,03612 |
5,5 |
1,083 |
0,055 |
-0,146205 |
|
6 |
0,949 |
0,26087 |
0,0949 |
6 |
0,984 |
0,2 |
0,03444 |
6 |
1,065 |
0,06 |
-0,143775 |
|
6,5 |
0,92 |
0,282609 |
0,092 |
6,5 |
0,948 |
0,216667 |
0,03318 |
6,5 |
1,05 |
0,065 |
-0,14175 |
|
7 |
0,911 |
0,304348 |
0,0911 |
7 |
0,927 |
0,233333 |
0,032445 |
7 |
1,037 |
0,07 |
-0,139995 |
|
7,5 |
0,92 |
0,326087 |
0,092 |
7,5 |
0,922 |
0,25 |
0,03227 |
7,5 |
1,025 |
0,075 |
-0,138375 |
|
8 |
0,944 |
0,347826 |
0,0944 |
8 |
0,932 |
0,266667 |
0,03262 |
8 |
1,021 |
0,08 |
-0,137835 |
|
8,5 |
0,974 |
0,369565 |
0,0974 |
8,5 |
0,951 |
0,283333 |
0,033285 |
8,5 |
1,018 |
0,085 |
-0,13743 |
|
9 |
1,006 |
0,391304 |
0,1006 |
9 |
0,976 |
0,3 |
0,03416 |
9 |
1,018 |
0,09 |
-0,13743 |
|
9,5 |
1,033 |
0,413043 |
0,1033 |
9,5 |
1 |
0,316667 |
0,035 |
9,5 |
1,019 |
0,095 |
-0,137565 |
|
10 |
1,049 |
0,434783 |
0,1049 |
10 |
1,02 |
0,333333 |
0,0357 |
10 |
1,019 |
0,1 |
-0,137565 |
|
10,5 |
1,054 |
0,456522 |
0,1054 |
10,5 |
1,033 |
0,35 |
0,036155 |
10,5 |
1,017 |
0,105 |
-0,137295 |
|
11 |
1,048 |
0,478261 |
0,1048 |
11 |
1,039 |
0,366667 |
0,036365 |
11 |
1,014 |
0,11 |
-0,13689 |
|
11,5 |
1,034 |
0,5 |
0,1034 |
11,5 |
1,037 |
0,383333 |
0,036295 |
11,5 |
1,01 |
0,115 |
-0,13635 |
|
12 |
1,015 |
0,521739 |
0,1015 |
12 |
1,027 |
0,4 |
0,035945 |
12 |
1,004 |
0,12 |
-0,13554 |
|
12,5 |
0,995 |
0,543478 |
0,0995 |
12,5 |
1,017 |
0,416667 |
0,035595 |
12,5 |
0,999 |
0,125 |
-0,134865 |
|
13 |
0,98 |
0,565217 |
0,098 |
13 |
1,005 |
0,433333 |
0,035175 |
13 |
0,994 |
0,13 |
-0,13419 |
|
13,5 |
0,968 |
0,586957 |
0,0968 |
13,5 |
0,995 |
0,45 |
0,034825 |
13,5 |
0,99 |
0,135 |
-0,13365 |
|
14 |
0,96 |
0,608696 |
0,096 |
14 |
0,987 |
0,466667 |
0,034545 |
14 |
0,988 |
0,14 |
-0,13338 |
|
14,5 |
0,969 |
0,630435 |
0,0969 |
14,5 |
0,983 |
0,483333 |
0,034405 |
14,5 |
0,987 |
0,145 |
-0,133245 |
|
15 |
0,978 |
0,652174 |
0,0978 |
15 |
0,983 |
0,5 |
0,034405 |
15 |
0,988 |
0,15 |
-0,13338 |
|
15,5 |
0,991 |
0,673913 |
0,0991 |
15,5 |
0,985 |
0,516667 |
0,034475 |
15,5 |
0,989 |
0,155 |
-0,133515 |
|
16 |
1,003 |
0,695652 |
0,1003 |
16 |
0,99 |
0,533333 |
0,03465 |
16 |
0,991 |
0,16 |
-0,133785 |
|
16,5 |
1,014 |
0,717391 |
0,1014 |
16,5 |
0,995 |
0,55 |
0,034825 |
16,5 |
0,993 |
0,165 |
-0,134055 |
|
17 |
1,02 |
0,73913 |
0,102 |
17 |
0,999 |
0,566667 |
0,034965 |
17 |
0,994 |
0,17 |
-0,13419 |
|
17,5 |
1,023 |
0,76087 |
0,1023 |
17,5 |
1,002 |
0,583333 |
0,03507 |
17,5 |
0,994 |
0,175 |
-0,13419 |
|
18 |
1,02 |
0,782609 |
0,102 |
18 |
1,004 |
0,6 |
0,03514 |
18 |
0,995 |
0,18 |
-0,134325 |
|
18,5 |
1,014 |
0,804348 |
0,1014 |
18,5 |
1,003 |
0,616667 |
0,035105 |
18,5 |
0,995 |
0,185 |
-0,134325 |
|
19 |
1,006 |
0,826087 |
0,1006 |
19 |
1,004 |
0,633333 |
0,03514 |
19 |
0,995 |
0,19 |
-0,134325 |
|
19,5 |
0,998 |
0,847826 |
0,0998 |
19,5 |
1,003 |
0,65 |
0,035105 |
19,5 |
0,995 |
0,195 |
-0,134325 |
|
20 |
0,991 |
0,869565 |
0,0991 |
20 |
1,003 |
0,666667 |
0,035105 |
20 |
0,995 |
0,2 |
-0,134325 |
|
20,5 |
0,986 |
0,891304 |
0,0986 |
20,5 |
1,001 |
0,683333 |
0,035035 |
20,5 |
0,996 |
0,205 |
-0,13446 |
|
21 |
0,983 |
0,913043 |
0,0983 |
21 |
0,999 |
0,7 |
0,034965 |
21 |
0,997 |
0,21 |
-0,134595 |
|
21,5 |
0,986 |
0,934783 |
0,0986 |
21,5 |
0,998 |
0,716667 |
0,03493 |
21,5 |
0,999 |
0,215 |
-0,134865 |
|
22 |
0,991 |
0,956522 |
0,0991 |
22 |
0,997 |
0,733333 |
0,034895 |
22 |
1 |
0,22 |
-0,135 |
|
22,5 |
0,998 |
0,978261 |
0,0998 |
22,5 |
0,996 |
0,75 |
0,03486 |
22,5 |
1,002 |
0,225 |
-0,13527 |
|
23 |
1,002 |
1 |
0,1002 |
23 |
0,997 |
0,766667 |
0,034895 |
23 |
1,004 |
0,23 |
-0,13554 |
|
23,5 |
1,007 |
1,021739 |
0,1007 |
23,5 |
0,998 |
0,783333 |
0,03493 |
23,5 |
1,004 |
0,235 |
-0,13554 |
|
24 |
1,008 |
1,043478 |
0,1008 |
24 |
0,999 |
0,8 |
0,034965 |
24 |
1,005 |
0,24 |
-0,135675 |
|
24,5 |
1,008 |
1,065217 |
0,1008 |
24,5 |
1 |
0,816667 |
0,035 |
24,5 |
1,005 |
0,245 |
-0,135675 |
|
25 |
1,005 |
1,086957 |
0,1005 |
25 |
1,001 |
0,833333 |
0,035035 |
25 |
1,005 |
0,25 |
-0,135675 |
|
25,5 |
1,004 |
1,108696 |
0,1004 |
25,5 |
1,002 |
0,85 |
0,03507 |
25,5 |
1,004 |
0,255 |
-0,13554 |
|
26 |
1,002 |
1,130435 |
0,1002 |
26 |
1,002 |
0,866667 |
0,03507 |
26 |
1,004 |
0,26 |
-0,13554 |
Далее построим
графики составляющих переходной
характеристики
.
Все составляющие расположим на одном
чертеже с учетом знака, который
определяется знаком высоты
соответствующей трапеции.
График переходной характеристики замкнутой системы получим путем суммирования ординат всех составляющих в равные моменты времени
. (42)
Таблица 5 – Координаты суммы всех трапеций переходного процесса
|
время |
Конечная ПХ |
|
0 |
0 |
|
0,1 |
0,608985 |
|
0,2 |
0,886415 |
|
0,4 |
0,976405 |
|
0,8 |
1,003825 |
|
1 |
1,00933 |
|
1,5 |
1,00793 |
|
2 |
1,00213 |
|
3 |
0,99613 |
|
5 |
0,99973 |
|
7 |
1 |
|
10 |
1 |
Рисунок 12 – Переходный процесс скорректированной САР, построенный в VisSim