Функция полезности Неймана-Моргенштерна

Функцией полезности (utility function) называется некоторая функция u(x), которая связывает полезность как результат некоторого действия с уровнем (интенсивностью) этого действия.

Это утверждение можно записать следующим образом:

u_i = f(x_i),

где u_i – полезность, получаемая потребителем от потребления некоторого количества блага;

x_i – количество потребляемых единиц блага.

Эта функция имеет возрастающий характер, т. е. каждая дополнительная единица блага увеличивает общую полезность (по крайней мере, до некоторой точки насыщения), а во-вторых, каждая следующая единица блага приносит меньшее увеличение общей полезности, чем предыдущая, т. е. приращение общей полезности (предельная полезность) уменьшается с увеличением количества потребляемых единиц блага.

Известно, что разные люди по-разному относятся к деньгам. Функция полезности справедлива и для денег. То есть, для денег также справедливо высказывание: прирост полезности денег уменьшается с увеличением их количества. Функция полезности является вогнутой. Принципиальный вид функции полезности представлен на рис. 2.

Рис.2. График функции полезности.

Впервые нелинейный характер зависимости полезности от ожидаемой прибыли отметил Даниил Бернулли в работе «Опыт новой теории изменения жребия. Теория потребительского поведения и спроса». Этот эффект вошел в науку о принятии решений под названием Санкт-Петербургского парадокса.

Теория полезности, изложенная в работе Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение», носит аксиометрический характер. Авторы показали, что, если предпочтения людей по отношению к определенным играм (лотереям) удовлетворяют ряду аксиом, то их поведение может рассматриваться как максимизация ожидаемой полезности.

2. Максимизация ожидаемой полезности. Оценка отношения людей к риску.

Когда ЛПР принимает решение он ставит перед собой задачу либо максимизировать ожидаемый денежный выигрыш, либо минимизировать ожидаемый денежный проигрыш.

Предположим, что ЛПР делает выбор из двух альтернатив:

1. получить 1 млн. грн наверняка;

2. вступить в игру, в которой вероятность получить 2,1 млн. грн равна 0,5, либо проиграть 50 тыс. грн с вероятностью 0,5.

Для того, чтобы сделать рациональный выбор необходимо рассчитать ожидаемые результаты: 0,5 × (2,1) + 0,5 × (-0,05) = 1,025 млн. грн.

Если использовать критерий максимизации ожидаемого денежного выигрыша, то необходимо выбирать игру, а не получение 1,0 млн. грн наверняка.

Но большинство людей в этом случае ее не выберут. На выбор решения оказывает влияние не только размер ожидаемого дохода, но и отношение этого субъекта к риску.

Отношение людей к риску

1. Человек, предпочитающий стабильный доход решениям, связанным с риском, не является расположенным к риску. В этом случае функция полезности будет иметь вид:

Рис. 3. Соотношение дохода и полезности: субъект не любит рисковать.

2. Человеку, нейтрально относящемуся к риску, безразлично получать ли стабильный доход или вступать в игру с неопределенным результатом. В этом случае ожидаемая полезность от этих двух вариантов должна быть одинакова. Функция полезности имеет вид:

Рис. 4. Соотношение дохода и полезности: субъект нейтрально относится к риску.

3. О предрасположенности к риску свидетельствует желание людей заниматься предпринимательской деятельностью. Функция полезности в этом случае имеет вид:

Рис. 5. Соотношение дохода и полезности: субъект предрасположен к риску.

Рассмотренные функции полезности построены при помощи аксиом Неймана-Моргенштерна, характеризующих элементы рационального поведения субъекта.