Аксиомы Неймана-Моргенштерна

Аксиома транзитивности. Предпочтения ЛПР являются транзитивными. Например, если субъект предпочитает исход А исходу В, а исход В исходу С, то следовательно, он предпочитает исход А исходу С.

Аксиома безразличия. Если имеется три возможных исхода А, В и С, а ЛПР предпочитает исход А исходу В, а исход В – исходу С, то должна существовать такая вероятность Р, что для ЛПР следующие две альтернативы будут иметь одинаковую ценность:

• получить В наверняка;

• игра, в которой ЛПР выигрывает А с вероятностью Р, либо выигрывает С с вероятностью (1–Р). Значения вероятности могут быть различными, что не имеет принципиального значения. Важно то, что существует определенное значение вероятности Р, при котором для ЛПР будет безразлично: либо принять участие в игре, в которой можно выиграть А или С, либо получить выигрыш В.

Аксиома рациональности. Если ЛПР предложено два лотерейных билета с идентичными призами, то он выберет билет с большей вероятностью выигрыша.

Однако следует заметить, что не все экономисты и статистики разделяют эти аксиомы, но большинство все-таки рассматривает их как вполне разумные допущения, позволяющие строить теорию выбора решения в условиях неопределенности. Также, необходимо отметить, что не все индивидуумы действуют согласно этим аксиомам. Даже если человек согласен со всеми из них, это отнюдь не предполагает, что он не может ошибиться и совершить нерациональное действие. Смысл этих аксиом заключается в том, что они показывают, как люди должны принимать решения для того, чтобы эти решения согласовывались с их предпочтениями, хотя на практике менеджеры не всегда принимают решения, согласующиеся с ними.

Теорема. Каждому результату лотереи можно приписать некоторое число такое, что для любых двух лотерей и будет верно тогда и только тогда, когда .

Число , приписываемое i-му результату, называется его полезностью.

Число , которое приписывается лотерее L, называется средней ожидаемой полезностью лотереи. Это математическое ожидание этой лотереи.

Принцип фон Неймана-Моргенштерна:

Индивидуум будет поступать так, чтобы максимизировать значение полезности.

Функция полезности возрастает, причем она линейна, если ЛПР нейтрален к риску, вогнута, если ЛПР несклонен к риску, и выпукла, если ЛПР склонен к риску.

Функция несклонности к риску:

3. Основные понятия в теории полезности

Пусть L - лотерея, которая приводит к выигрышам (действиям) х₁, х₂,…, х_n с соответствующими вероятностями p₁, p₂, …, p_n, и соответствующими полезностями U(X₁), U(X₂), … U(X_n).

Обозначим ожидаемый выигрыш (математическое ожидание выигрыша) через :

(1)

Математическое ожидание полезности, т.е. ожидаемую полезность выигрыша, определяют по формуле:

, (2)

т.е. полезность набора результатов совпадает с математическим ожиданием полезности результатов.

Определение: ожидаемая полезность события равна сумме произведений вероятности исходов на значение полезностей этих исходов.

Детерминированный эквивалент лотереи. Страховая сумма

Взаимосвязь риска с полезностью определяется понятием детерминированного эквивалента лотереи.

Детерминированный эквивалент лотереи L — это гарантированная сумма , получение которой эквивалентно участию в лотерее и гарантирует ЛПР такую же самую полезность, как и участие в рискованном деле, то есть ~ L. т.е. определяется из равенства:

или , (3)

где U^-1— функция, обратная к функции U(х).

Премию (надбавку) за риск в лотереи определяют как разницу между ожидаемым выигрышем и детерминированным эквивалентом.

. (4)

По своему физическому смыслу премия за риск (надбавка за риск)  (Х) — это сумма (в единицах измерения критерия х), которой ЛПР согласен пожертвовать (уступить ее) из среднего выигрыша (т.е. эта сумма меньше, чем математическое ожидание выигрыша), чтобы избежать риска, связанного с лотереей, и получить гарантированный доход.

Перед ЛПР может стать проблема, которая состоит в том, что ЛПР стремится отказаться от лотереи, которая менее привлекательная, чем состояние, в котором пребывает ЛПР. В этом случае возникает вопрос, сколько б ЛПР заплатил (в единицах измерения), чтобы не участвовать в лотереи (избежать ее). Эту величину называют страховой суммой.

Страховой суммой (СС) называют величину детерминированного эквивалента, взятую с противоположным знаком:

СС(Х) = - . (5)

ВЫВОДЫ