3.2.7. Двух массовая механическая система.
Многие системы электроприводом могут быть представлены в виде механической системы состоящей из двигателя, исполнительного механизма и упругого звена связывающего эти элементы, например упругой муфты, канате, вала, шестерни и т.д.
Уравнение для движения ротора двигателя имеет вид:
J1 * d1/dt = Mдв - Ммф
где: 1 = d1 / dt
где 1 - угол поворота вала двигателя.
Mдв - момент двигателя.
Ммф - момент создаваемый муфтой.
Уравнение для движения вала исполнительного механизма имеет вид:
J2 * d2 / dt = Mв - Мс
где: Mc момент сопротивления механизма
где 2 - угол поворота вала исполнительного механизма.
Согласно закону Гука:
Ммф = С * (1 - 2 )
где: C - коэффициент жесткости кручения муфты.
Подставив эти данные в уравнения движения получим систему уравнения описывающую движение двух массовой системы привода:
J1 * dD2 q1 / dtD2 = M - C * (1 - 2 )
J2 * dD2 q2 / dtD2 = C * (1 - 2) - Mc
Решая эти уравнения можно получить первую передаточную функцию системы по управляющему воздействию при выходной переменной 1 [Kлючев с. 52. (1.49) и (1.51) с. 55.] :
W1(p)= 1(p) / M(p)= (J2 / C * pD2 + 1) /Js * p * ( J1*J2*pD2 /CJs+1)=
= 1/(Js * P) * [(Г / 12D2@) * PD2 +1] / [(1 / 12D2) * PD2 +1]
АЭП. 3.2.11. 12.05.05.
где: Js = J1 + J2 . Г = Js / J1
Omega12 - Корень характеристического уравнения:
- Js * P * (J1 * J2 * pD2 / (C * Js) + 1)
P12 = +-j12 - резонансная частота системы:
______________
12 = С * Js / (J1 * J2)
Вторая передаточная функция системы, связывающую скорость 1 и выходную переменную 2, равна [Kлючев с. 54. (1.50)] :
W12
= 2/1
= 1/[(J2 * P
= 1 / [ PD2 / 02D2 * P2 + 1]
где: 02 = 02 * Г = (C/J2) - резонансная частота второй массы при жесткой заделке первой т.е. при J1 = Aoo.
Суммарная передаточная функция системы равна:
W2(p) = W1(p) * W12(p)
Структурная схема двух массовой системы приведена на рис. 3.13.
W1(p)
М ---------¬ -----------------------------------------------------1
-- 1/Js*P + --(Js/ J1*12D2)*PD2 +1] / [(1 / 12D2) * PD2 +1] +--
--------- -----------------------------------------------------
W12(p)
1 ---------------------------2
-- 1 / [(12D2) * PD2 +1]+--
---------------------------
или
АЭП. 3.2.12. 12.05.05.
W2(p)
М --------- ---------------------------2
--1/Js*P +-- (1 / 12D2)* PD2 +1] +--
--------- ---------------------------
Рис. 3.13.
______________
12 = С * Js / (J1 * J2)
Анализируя полученные результаты можно отметить, сто при постоянном моменте сопротивления Мс = const:
1. Двух массовая упругая система при воздействии внешних возмущений и отсутствия в системе сил зависящих от скорости представляет собой идеальное колебательное звено без затухания. Однако в реальных условиях, имеются демпфирующие элементы, поглащающие энергию и процесс носит затухающий характер.
2.Движение первой массы при небольших частотах колебаний управляющего воздействия (момента М) определяется суммарным моментом инерции Js (1/p Js) и звено ведет себя как интегрирующее.
3. При приближении частоты колебаний момента к резонансной частоте (т.е. к 12 ), амплитуда колебания возрастает и стремится к бесконечности. Однако проявление резонанса существенно зависит от параметров механической части в связи с наличием в передаточной функции
Ww1(p) форсирующего звена второго порядка - [(Г / 122) * P2 +1].
4. Если механизм обладает небольшой инерцией ( J2 << J1. Г ^#& 1),
то движение системы близка к движению системы определяемому интегрирующим звено Js (1/p Js).
Из этого можно сделать важный вывод что при ( J2 << J1. Г ^#& 1), в механическом звене можно не учитывать упругость, а считать звено жестким.
Дополнительные материалы.
Подобные задачи в классической математике решаются матричным методом на основе уравнений (3.1).
В заключении приведем рекомендуемый порядок расчета переходных процессов классическим методом.
1. Обозначим оператор дифференцирования p = d/dt.
В этом случае dy/dt = p*y
1. Представим уравнения (3.1) в матричном виде на примере трех уравнений:
Py + A*Y=F
Где Py , A, Y, и F - матрицы
| p*y1 | | y1 | | f1(t) |
Py = | p*y2 | Y= | y2 | F= | f2(t) |
| p*y3 | | y3 | | f3(t) |
| a11 a12 a13 |
А= | a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |
1. Определить независимые начальные условия iLk(0+) и uCk(0+) с использованием законов коммутации.
2. Для цепи после коммутации составить систему уравнений Кирхгофа с использованием уравнений для элементов.
3. Полученную систему разрешить относительно искомой переменной. При этом получится одно дифференциальное уравнение n-ой степени, где n равно общему числу индуктивностей и емкостей, в которых можно задавать независимые начальные условия.
4. Определить решение полученного дифференциального уравнения
где iвын(t)=iуст(t) -вынужденная (установившаяся) составляющая; pk - корни характеристического уравнения; Ak - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Далее классический метод будет использован для анализа переходных процессов в простейших RL, RC и RLC- цепях.
Для определения общего решения (1.6) составляется характеристическое уравнение, которое получается из (1.6) путем замены k -той производной на pk . При этом сама искомая переменная заменяется на единицу. Характеристическое уравнение
pn + bn-1pn-1 + ........... +b1p + b0 = 0
является алгебраическим уравнением степени n и его корни pk определяют общее решение однородного дифференциального уравнения:
,
где Ak - постоянные интегрирования.
Решение (1.8) записано для случая различных корней pk . Входящие в (1.8) n постоянных интегрирования определяются по известным независимым начальным условиям.
Подставив в передаточную функцию получим:
W(p) = uвых / uвх = 1 / (Те * Тм * p2 + p * Тм + 1)
T1 =1/ a1 = -1/ p1 , T2 = 1/ а2 = - 1/р2
W(p) = 1 / (T1 * p + 1) * (T2 * p + 1) и
При = 1 [Ключев с.255] p1 = p2 = p, a1 = a2=a = - 1/p,
T1 = T2 = 1/a = - 1/p
и передаточная функция может быть представлена выражением:
АЭП. 3.1.15.А. 11.06.05. 17.09.05.
W(p) =1 /(T1*p+1)2
Переходная функция определяется согласно [Ключев с. 256]
uc = А1 * e(p1*t) + А2 * e(p2*t) + U
uc = А1 * e(p1*t)