3.1.2.1. Переходные процессы коммутации индуктивности.
1. Включение индуктивности в цепь постоянного тока.
Рисунок 3.1.1. Коммутация индуктивности.
Согласно второму закону Кирхгофа:
U = ir + ul = i*R + L * di/dt
или
АЭП. 3.1.5. 05.08.11.
L * di/dt + i*R = U
Решение этого уравнения:
i= icb + iпр
icв - Свободная составляющая тока. Общее решение уравнения без правой части.
iпр - Принужденный ток. Частное решение уравнения с правой частью.
Свободный ток:
iсв = А * e(-t/Te)
где: Te = L/R - постоянная времени.
Принужденный ток:
iпр= i при t=∞,
iпр = U / R
Суммарный ток:
i= iпр + icb = U/R + А * e(-t/Te)
Коэффициент А определим из начальных условий, при t=0, i=0
i = U/R + А * e(-t/Te) = 0
и А = - U/R ,
Подставив значение А получим:
Свободный ток:
iсв= - U/R * e(-t/Te)
Суммарный ток:
i = U/R - U/R * e(-t/Te) = U/R * (1 - e-(t/Te) )
Напряжение на сопротивлении:
u2 = ur = i * R = U/R * [1 - e(-t/Te)] * R = U * [ 1 - e(-t/Te)]
АЭП. 3.1.6. 05.08.11.
Напряжение на индуктивности:
ul = U - ur = U * e(-t/Te)
Результаты приведены на рисунке 3.1.2.
Рисунок 3.1.2.
Анализируя полученные выражения можно сформулировать первое правило коммутации:
В ветви с индуктивностью при коммутации в первый момент после коммутации ток в индуктивности не изменяются, т.е. ток в индуктивности не может сделать скачка.
3.1.2.2. Переходные процессы при коммутации емкости.
1. Включение емкости в цепь постоянного тока.
Рисунок 3.1.3. Коммутация емкости.
Согласно второму закону Кирхгофа:
U = uc + uR = uc + i*R
но
Q = C * uc
i = dQ / dt = C * duc / dt
отсюда
R*C * duc / dt + uc = U
АЭП. 3.1.7. 05.08.11.
Это неоднородное дифференциальное уравнение.
Решение этого уравнения:
uc=ucв + uпр
uсв - свободная составляющая напряжения. Общее решение однородного уравнения или уравнения без правой части.
uпр - принужденное значение напряжения. Частное решение для уравнения с правой частью при t = :
Свободное значение напряжения:
ucв = A * et/Tм
где Tm=R*C
Принужденное напряжение: uпр= U при t=.
Суммарное напряжение:
uc = uпр + uсв = U + A * et/Tм
Коэффициент А определим из начальных условий при t=0, uс=0, следовательно.
А = - U
Напряжение на емкости:
uc = U - U * e(-t/Tm) = U * [1-e(-t/Tм)]
Суммарное напряжение на сопротивлении:
ur = U - uc = U * e(-t/Tм)
Ток цепи:
i= C * duc/dt = U/R * e(-t/Tм)
Результаты приведены на рисунке 3.1.4.
АЭП. 3.1.8. 05.08.11.
Рисунок 3.1.4. Коммутация емкости.
Анализируя полученные выражения можно сформулировать второе правило коммутации:
В ветви с емкостью при коммутации в первый момент после коммутации заряд и напряжение на емкости не изменяются, т.е. напряжение на емкости не может сделать скачка.
3.1.2.3. Колебательное звено второго порядка. [Зевеке.С.345]:
Рисунок 3.1.5. Колебательное звено.
Рассмотрим свободную составляющую процесса. Эта составляющая не зависит от приложенного напряжения и существует только во время переходного процесса.
Согласно закону Кирхгофа свободные составляющие во всех элементах неразветвленной цепи уравновешиваются [Зевеке. Ионкин. С.344]:
uL + ur + uc = 0
ur = i * R,
uL = L * di/dt
Уравнение для тока:
L * di/dt +i * R + uc = 0
АЭП. 3.1.9. 05.08.11.
Где i = dQ / dt = C * duc / dt
Подставив значение тока, в уравнение для uL получим
uL =L * di/dt = L * C * d2 uc / dt2
и в uR
ur = C *R* duc / dt
Подставив эти величины напряжений в исходное напряжение получим уравнение для uc:
L * C * d2uc / dt2 + C * R * duc / dt + uc = 0
Поскольку заряд на конденсаторе Qc=c*uc аналогичное уравнение соответствует и заряду Q
L * C * d2Qc / dt2 + C * R * Qc / dt + Qc = 0
Поскольку i= dQ/dt = C * duc / dt дифференцируя это уравнение по времени получим
L * C * d2 icb / dt2 + C * R * icb / dt + icb = 0
Характеристическое уравнение
L * C * р2 + С * R * p + 1 = 0
Вариант А. В соответствии с [Ключев. с. 253].
Обозначим следующие постоянные времени:
Tэ = L/R, Тм = R * C
Отсюда: LC = Tе * R * Tм /R = Tе * Тм
В соответствии с [Андрющенко. с. 20].
Характеристическое уравнение в этом случае:
Те* Тм * p2 + p * Тм + 1 = 0
АЭП. 3.1.10. 05.08.11.
Обозначим в уравнении
Т2 = Тм * Те. = LC
Положив Тм = 2 * T * , получим
T2 * р2 + 2 * * T * p + 1 =0
________ _ _____
где = Тм / 2Т = Тм / 2 Тм * Тэ = 1/2 * Тм / Тэ
___________ ______
p12 = - / T +- ( / T)2- 1 /Т2 =1/Т *(- +- (2 - 1 )
где - параметр затухания.
Величина параметра затухания ε является важным показателем динамических систем, непосредственно определяющим колебательность разомкнутой системы.
Если получено два корня действительных или комплексных решение задачи имеет вид суммы двух экспонент:
uc = А1 * e(p1*t) + А2 * e(p2*t) + U (Ф)
Если в результате определения получен один корень, т. е. р1=р2=р решение имеет следующий вид:
uc = (А1 + А2 * t)* e(p*t) + U
Если >1 то характеристическое уравнение имеет вещественные корни [Чиликин. c.183]
_______
p1 = 1/Т *(- + 2 - 1 )
_______
p2 = 1/Т *( - - 2- 1 )
Решение состоит из двух затухающих во времени составляющих.
Определим коэффициенты A1 иA2.
Положим, что при t=0 uc(0)=uс0 = 0.
В этом случае первое уравнение для определения коэффициентов:
A1 + A2 +U =0
АЭП. 3.1.11. 05.08.11. 02.10.11.
Для нахождения второго уравнения продифференцируем уравнение (Ф) и положим в качестве начальных условий uc’(0) = 0.
A1*p1 + A2*p2 +U =0
Решая эти два уравнения определим А1 и А2.
A1= - a2*U/ (a1 - a2), A2 = - a1*U / (a1 - a2)
где а1=| p1 | и a2=|p2|
И напряжение на конденсаторе:
uc = U - a2*U/ (a1 - a2) * e-t/Т1 - a1*U / (a1 - a2) * e-t/Т2
Если < 1 то характеристическое уравнение имеет комплексные сопряженные корни p1 = - + j и p2 = - - j
В этом случае действительная часть определяет процесс затухания, а мнимая колебательный процесс, возникающий в системе с частотой собственных колебаний св и переходная функция может быть представлена выражением [Андрющенко. с. 20]:
e-( + j ) = e (-) * e- j* = (A1* COS ( * t )+A2 * SIN ( * t) )* e (-)
где = (1-2) / T
Т.е. является колебательным звеном с частотой собственных колебаний .
_____ _______
uc= U*( 1 - е-*t / Т / (1-2) ) * SIN { [ * t ] + arctg [(1-2) / ] }
_______
где Т = Тм * Тэ ,
АЭП. 3.1.12. 05.08.11.
На рис. 3.1.6. приведен результат расчета напряжения на емкости после включения системы RLC на напряжение 100 В.
При расчете принято : L = 10 Гн , C= 1*10-3 Ф , R = 140 Ом .
Рисунок 3.1.6.
АЭП. 3.1.11.Б. 11.06.05. 17.09.05.
Вариант Б. Поведение системы (переходная функция) зависит от корней характеристического уравнения согласно [Ключев. с. 253]:
Те * Тм * p2 + p * Тм + 1 = 0
p2 + p / Те + 1 / (Те Тм) = 0
Решая уравнение получим:
_______________
p12 = - 1 / 2Tэ +- 1/4Tэ2 - 1/(Тэ Тм) =
_________________________
= - Тм /(2 Тм Тэ) +- Тм2 /(4Tэ2 Тм2) - Тм / (Тэ Тм2) =
Положив Тм/Те = m получим:
________
р12 = 1/Tм * (- m/2 +- m2/4 - m )
т.к. m = Tm / Te
__
= 1/2 * m или 2 = m / 4
Значение m и ε являются важным показателем динамических систем, непосредственно определяющим колебательность разомкнутой системы при жестких механических связях.
Если m>=4 или >=1 то характеристическое уравнение имеет вещественные корни [Чиликин. c.183]
_______
р1 = 1/Tм * (- m/2 + m2/4 - m )
_______
р2 = 1/Tм * (- m/2 - m2/4 - m )
При > 1 и m<4 [Ключев с.254] T1 =1/ a1 = -1/ p1 , T2 = 1/ а2 = - 1/р2
и передаточная функция может быть представлена выражением:
W(p) = 1 / (T1 * p + 1) * (T2 * p + 1) и
Hвых/Uвх = h(t) = 1 + a2 / (a1 - a2) * e-t/Т1 - a1 / (a1 - a2) * e-t/Т2
АЭП. 3.1.12.Б. 11.06.05. 17.09.05.
При = 1 [Ключев с.255] p1 = p2 = p, a1 = a2=a = - 1/p,
T1 = T2 = 1/a = - 1/p
и передаточная функция может быть представлена выражением:
W(p) =1 /(T1*p+1)2
Переходная функция определяется согласно [Ключев с. 256]
η(t) = 1- (1+a*t)*e-at
Если m < 4 или < 1 то характеристическое уравнение имеет комплексные сопряженные корни p1 = - a1 + j и p2 = - a2 - j и передаточная функция может быть представлена выражением [Андрющенко. с. 20]:
_____
Hвых / Uвх = h(t) = ( 1 - е-t/Т / (1-2) ) *
_______
* SIN { [ * t ] + arctg [(1-2 / ] }
_______ ______
где Т = Тм * Тэ , = (1-2) / T
Рисунок 3.1.15.
АЭП. 3.1.13. 05.08.11.