3.1.3.5. Теорема разложения.

Теорема (формула) разложения служит для определения оригинала по известному дробному рациональному изображению.

Дробными рациональными называются функции в виде отношения двух полиномов:

(3.20)

где p – комплексная переменная; A(p) – полином числителя степени m; B(p) – полином знаменателя степени n; a_i и b_i – вещественные коэффициенты.

Именно в дробных рациональных функциях выражаются операторные токи и напряжения.

Будем предполагать, что степень полинома знаменателя (3.20) больше степени полинома числителя, т.е. n > m, и что полином знаменателя B(p) имеет только простые корни p_k, т.е. среди корней нет кратных (одинаковых). При этих предположениях, как известно из курса линейной алгебры, F(p) может быть представлена в виде суммы простых дробей:

(3.21)

где k = 1,2,…n

D_k– коэффициенты разложения. Тогда для (3.21) можно записать оригинал, используя табличный переход (см. таблицу 3.1, соответствие 3):

(3.22)

Свободная составляющая переходного процесса определяются по формуле разложения:

, (3.23)

где A(p) и B(p) – полиномы числителя и знаменателя исходного изображения F(p); n и p_k – степень и корни полинома знаменателя B(p).

Пример 1. Дано изображение напряжения .

Определить оригинал (реальное напряжение) по формуле разложения.

Определяем корни полинома знаменателя B(p):

В’(pk) = 2*p+6

Коэффициенты: ,

Реальное напряжение .

АЭП. 3.1.20. 05.08.11.

3.1.4. Основные виды воздействующего сигнала.

В электроприводе рассматривается два вида входных воздействующих сигналов, определяющих характеристики звеньев, а именно:

1. Единичная ступенчатая функция 1(t).

2. Единичная импульсная функция или дельта функция.

1. Единичная ступенчатая функция это функция равная нулю при

t < 0 - 1(t)= 0 и t >= 0 - 1(t)= 1

1(t) = |1 if t  0

| 0 if t < 0

График единичной ступенчатой функции приведен на рис. 3.1.7.

Рисунок 3.1.7.

Ступенчатый сигнал весьма распространенный вид входного сигнала.

2. Единичная импульсная функция или дельта функция:

Рисунок 3.1.8.

t = 0 - (t) = 

t <> 0 - (t) = 0 в остальногй части.

Площадь (t) функции равна 1.

S (t) = 1

3.1.5. Основные характеристики передаточного звена.

Для оценки динамических свойств звеньев используются временные и частотные характеристики.

Эти характеристики определяют реакцию звена на входной сигнал.

К временным характеристикам относятся переходные функции и функцией веса.

АЭП. 3.1.21. 05.08.11. 02.10.11.

3.1.5.1. Переходная функция

Переходная функция - это реакция системы на единичную ступенчатую функцию 1(t).

Будем обозначать ее h(t).

h(t) = 1(t) * W(p)

характеризует переход звена из одного устойчивого состояние в другое.

Преобразование Лапласа этого сигнала L[1(p)]

.

Найдем изображение выходного сигнала, которое связано с изображением входного сигнала через передаточную функцию H(p):

.

Нас интересует не изображение выходного сигнала h(p), а сам сигнал h(t). Он находится с помощью обратного преобразования Лапласа.

Таким образом, для определения переходной функции системы надо передаточную функцию разделить на p и найти обратное преобразование Лапласа.

1. Переходная функция имеет две составляющие: свободную и вынужденную.

2. Переходная функция является интегралом от импульсной переходной функции.